Gửi Bạn Nam Dương câu 5d ( tham khảo)

Câu 5d của bạn: Trần Nam Dương:
Đề bài: (Đề của bạn cho dài và có nhiều ý, tôi xin phép cắt bớt và chỉ giải quyết ý mà bạn hỏi.)
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ một điểm P cố định ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC không đi qua O.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng. Khi cát tuyến PBC thay đổi thì H vẫn nằm trên một đường tròn cố định.
Lời giải:



Dựng hình bình hành: AOPG như hình vẽ.
Ta sẽ chứng minh H nằm trên đường tròn tâm G cố định bán kính GA = PO không đổi.
Thật vậy:
Kẻ đường kính BE và AD;
Gọi F là trung điểm của BC.
Kẻ đường thẳng đi qua G và vuông góc với AH tại I.
Ta có: AHCE là hình bình hành nên AH // = EC.
OF là đường trung bình của tam giác BCE nên: OF // =
EC
Do đó: OF // =
AH (1)
Xét
và
có:
Góc I bằng góc F cùng bằng 900
Cạnh huyền GA và PO bằng nhau ( vì AOPG là hình bình hành )
Góc AGI và góc OPF là hai góc có cạnh tương ứng song song nên bằng nhau.
Vậy
=
( cạnh huyền góc nhọn)
Từ đó ta có: OF // = AI (2)
Từ (1) và (2) ta có: I là trung điểm của AH.
Suy ra GI là đường trung trực của AH. Suy ra GH = GA = PO không đổi.
Vì AOPG là hình bình hành và A; O; P cố định nên G cố định.
Vậy khi cát tuyến PBC thay đổi thì trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định.