Gửi bạn Huyền Trang

Gửi bạn Huyền Trang
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H.
(H không trùng với O). Biết AH = a; CD = 2b.
a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau.
b) Tính R theo a và b.
c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau. Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
/
Bài giải
/
Vì CO=OA=OB ; Theo tính chấtđường trung tuyến trong tam giác vuông:
Góc ACB = 90o
Chứng minh tương tự => góc ADB = 90o
a) Vì tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp => góc DCB = góc BAD
Mà CD vuông góc với AB tại H => góc CHB = góc AHD = 90o và H là trung điểm của dây CD
Tam giác HAD và tam giác HCB đồng dạng với nhau (g.g) (dpcm)
b) Áp dụngđịnh lý Pytago vào tam giác ACB, BHC và ACH
=>CA2 = CH2 + HA2 = b2 + a2
CB2 = CH2 +HB2 = b2 + (2R-a)2
AB2 = 4R2 = 2b2 + a2 + 4R2 -4R.a + a2 = 2b2 + 2a2 + 4R2 – 4R.a
4R.a = 2a2 + 2b2
R =
2𝑎^2+2𝑏^2
4𝑎

c) Vì MN và PQ là 2 dây cung trong đường tròn (O)
=> MN, PQ ≤ 2R
=> Max ( MN + PQ ) = 4R.
Dấu “=” xảy ra khi MN,PQ đi qua điểm O
Kẻ OK, OI vuông góc với các dây PQ, MN
MN = 2
𝑅^2− 𝑂𝐾^2 ; QP = 2
𝑅^2− 𝑂𝐼^2

MN + PQ = 2
𝑅^2− 𝑂𝐾^2
𝑅^2− 𝑂𝐼^2 ) ≥ 4 . căn
𝑅^2− 𝑂𝐾^2 .
𝑅^2− 𝑂𝐼^2) = 4. căn
R^4 – R^2.(OK^2+OI^2) + OI^2.OK^2) ≥ 4. căn
R^4 – R^2.OH^2) ≥ 4. căn
R^4 – R^4) = 0
Vậy min ( MN+PQ) = 0. Dấu bằng xảy ra khi H≡B hoặc H≡C