Gửi 2 bài hinh cho Hồ Quỳnh Hương

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), C = 45°. Đường cao AA`, BB` cắt nhau tại H. M, N là trung điểm của AB và CH. Chứng minh rằng:
a) A`MB`N là hình vuông ?
b) A`B`, MN, OH đồng quy ?





a) A`MB`N là hình vuông :
Ta có = 45 ( (BB’C vuông cân tại B’ và (AB’H vuông cân tại B’
( BB’=CB’ và AB’=HB’( (AB’B = (HB’C(c.g.c) ( AB = HC
Ta lại có M, N lần lượt là trung điểm của AB và HC(gt) ( MA = MB = NH = NC
Theo định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ,ta có:
MB’ = MA’= OM=AB/2 và B’N = A’N = HC/2 ( MA’ = MB’ = B’N = A’N
Vậy tứ giác A’MB’N là hình thoi.
Vì (BMB’ cân tại M (MB=MB’), (B’NC cân tại N (NB’=NC), (BMB’=(B’NC(c.c.c)
(  =  (  +  = +  =90 (  =90 ( A’MB’N hình vuông
A`B`, MN, OH đồng quy :
Gọi I là giao điểm của A’B’ và MN( I là trung điểm của A’B’ và MN.
Ta có: M là trung điểm AB ( OM( AB( OM//NH( cùng ( AB)
Mà OM=AB/2, NH=HC/2 và AB=HC ( OM=NH ( Tứ giác OMHN là hình bình hành.
( OH , MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và I là trung điểm của MN.
( I là trung điểm của OH ( A’B’, MN, OH đồng quy tại trung điểm I của chúng.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường tròn đường kính AH cắt DF tại K. Chứng minh: DK = DE ?




C/m: DK= DE
 =  =  =  =90( ABDE nội tiếp và ACDF nội tiếp
(  =  và  . Mà  =  (đđ),  =  (cùng chắn  )
(  =  (  +  + =  +  +  = 180
(  = . Vì  = ( cùng chắn  của đường tròn đường kính AH) .
(  =  ( (DEF cân tại D ( DK = DE.

( Tham khảo nhé! Cố gắng tìm cách giải hay hơn)