Gửi em Hà Minh Nhật ( bài Hình)

Câu III ( Thi thử vào chuyên toán ĐHKHTN 2019 vòng 3)
Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp (O) gọi D,E,F là tiếp điểm với cạnh BC;AC;AB, gọi M,N,P là trung điểm DF,DE,EF . Kẻ BK vuông góc DE; CL vuông góc DF Q thuộc (O) sao cho góc PQD vuông
Chứng minh tam giác BMK đồng dạng với tam giác DFE
Chứng minh MK//NL
Chứng minh MN, KL, QD đồng quy


Hướng đẫn
a) ta có
tứ giác BMDK nội tiếp suy ra
;
suy ra tam giác BMK đồng dạng với tam giác DFE (g.g)
b) Tương tự tứ giác CLDN nội tiếp suy ra

từ (1) (2) (3) suy ra

c) (Ta có hai tam giác đồng dạng thì tỷ số 2 đường trung tuyến , tỷ số 2 đường kính đường tròn ngoại tiếp đó bằng tỷ số đồng dạng)
Kẻ đường kính DS thì
( do GT) , gọi G là trung điểm MK .
Ta có
BMK đồng dạng với
DFE
BD là đường kính tròn ngoại tiếp
BMK, DF là đường kính tròn ngoại tiếp
DFE
BG là trung tuyến
BMK, DP là trung tuyến
DFE nên



DG, SP là trung tuyến hai tam giác này , DS, BD cũng là đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác
suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
suy ra

đồng dạng với
suy ra
mà
gọi DG cắt SP tại Q/ thì
vuông tại Q/ suy ra

Xét hình thang MNLK gọi MN cắt LK tại H theo bổ đề hình thang thì H,G, D thẳng hàng suy ra H,Q,G,D thẳng hàng hay MN, KL, QD đồng quy
( Trong hình thang có 2 cạnh bên không bằng nhau giao điểm hai đường chéo , giao điểm hai cạnh bên trung điểm hai đáy thẳng hàng)