GT toán rời rạc - Chương 8

CHƯƠNG VIII
ĐẠI SỐ BOOLE

Các mạch điện trong máy tính và các dụng cụ điện tử khác đều có các đầu vào, mỗi đầu vào là số 0 hoặc số 1, và tạo ra các đầu ra cũng là các số 0 và 1. Các mạch điện đó đều có thể được xây dựng bằng cách dùng bất kỳ một phần tử cơ bản nào có hai trạng thái khác nhau. Chúng bao gồm các chuyển mạch có thể ở hai vị trí mở hoặc đóng và các dụng cụ quang học có thể là sáng hoặc tối. Năm 1938 Claude Shannon chứng tỏ rằng có thể dùng các quy tắc cơ bản của lôgic do George Boole đưa ra vào năm 1854 trong cuốn “Các quy luật của tư duy” của ông để thiết kế các mạch điện. Các quy tắc này đã tạo nên cơ sở của đại số Boole. Sự hoạt động của một mạch điện được xác định bởi một hàm Boole chỉ rõ giá trị của đầu ra đối với mỗi tập đầu vào. Bước đầu tiên trong việc xây dựng một mạch điện là biểu diễn hàm Boole của nó bằng một biểu thức được lập bằng cách dùng các phép toán cơ bản của đại số Boole. Biểu thức mà ta sẽ nhận được có thể chứa nhiều phép toán hơn mức cần thiết để biểu diễn hàm đó. Ở cuối chương này, ta sẽ có các phương pháp tìm một biểu thức với số tối thiểu các phép tổng và tích được dùng để biểu diễn một hàm Boole. Các thủ tục được mô tả là bản đồ Karnaugh và phương pháp Quine-McCluskey, chúng đóng vai trò quan trọng trong việc thiết kế các mạch điện có hiệu quả cao.
8.1. KHÁI NIỆM ĐẠI SỐ BOOLE.
8.1.1. Định nghĩa: Tập hợp khác rỗng S cùng với các phép toán ký hiệu nhân (.), cộng (+), lấy bù (’) được gọi là một đại số Boole nếu các tiên đề sau đây được thoả mãn với mọi a, b, c
S.
1. Tính giao hoán: a) a.b = b.a,
b) a+b = b+a.
2. Tính kết hợp: a) (a.b).c = a.(b.c),
b) (a+b)+c = a+(b+c).
3. Tính phân phối: a) a.(b+c) = (a.b)+(a.c),
b) a+(b.c) = (a+b).(a+c).
4. Tồn tại phần tử trung hoà: Tồn tại hai phần tử khác nhau của S, ký hiệu là 1 và 0 sao cho: a) a.1 = 1.a = a,
b) a+0 = 0+a = a.
1 gọi là phần tử trung hoà của phép . và 0 gọi là phần tử trung hoà của phép +.
5. Tồn tại phần tử bù: Với mọi a
S, tồn tại duy nhất phần tử a’
S sao cho:
a) a.a’ = a’.a = 0,
b) a+a’ = a’+a = 1.
a’ gọi là phần tử bù của a.
Thí dụ 1:
1) Đại số lôgic là một đại số Boole, trong đó S là tập hợp các mệnh đề, các phép toán
(hội),
(tuyển), − (phủ định) tương ứng với . , +, ’, các hằng đ (đúng), s (sai) tương ứng với các phần tử trung hoà 1, 0.
2) Đại số tập hợp là một đại số Boole, trong đó S là tập hợp P(X) gồm các tập con của tập khác rỗng X, các phép toán
(giao),
(hợp), − (bù) tương ứng với . , +, ’, các tập X, Ø tương ứng với các phần tử trung hoà 1, 0.
3) Cho B = {0,1}, các phép toán . , +, ’ trên B được định nghĩa như sau:
1.1 = 1, 1+1 = 1, 1’ = 0,
1.0 = 0, 1+0 = 1, 0’ = 1. (1)
0.1 = 0, 0+1 = 1,
0.0 = 0, 0+0 = 0,
Khi đó B là một đại số Boole. Đây cũng chính là đại số lôgic, trong đó 1, 0 tương ứng với đ (đúng), s (sai). Mỗi phần tử 0,1 của B gọi là một bit. Ta thường viết
thay cho x’.
Tổng quát, gọi Bn là tập hợp các xâu n bit (xâu nhị phân độ dài n). Ta định nghĩa tích, tổng của hai chuỗi và bù của một chuỗi theo từng bit