GT 12

BÀI 3 : CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
BÀI TẬP
1) KIỂM LẠI : Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của :


1 ) Định nghĩa :
Cho y = f(x) liên tục trên (a;b) và x0 ? (a;b) .
a) Khoảng (x0 - ? ; x0 + ?) = (?) ? gọi là 1 lân cận của x0
b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x)
Nếu ?x ? (?) ? (a;b) ; x ? x0 thì f(x) < f(x0) .
Ký hiệu : fcđ = f(x0) ; M(x0; f(x0)) : điểm cực đại
Tương tự : ?. f(x) > f(x0)
? fct = f(x0) ; hàm số đạt cực tiểu tại x0
Các điểm cực đại ; cực tiểu được gọi chung là điểm
cực trị .
Giá trị cực đại , cực tiểu gọi là giá trị cực trị

2 ) Điều kiện để hàm số có cực trị :
* Định lý Fermat (Pháp : 1601 ? 1665)
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị
tại điểm đó thì f?(x0) = 0 (cm s.g.k)
* Ý nghĩa hình học của định lý Fermat
f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì
tiếp tuyến đồ thị tại đó song song với trục Ox.
* Hệ quả :
Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm tới
hạn của hàm số
( Chú ý:Mọi điểm tới hạn thì nhất thiết không là điểm cực
trị)
Ví dụ : Hàm số : y = x3 thì x = 0 là điểm tới hạn nhưng
hàm không cực trị tại đó .

3 ) Điều kiện đủ (Dấu hiệu) để hàm số có cực trị :
1. Dấu hiệu I :
* Định lý 1:
Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận x0
1.. Nếu f?(x) > 0 / (x0 - ? ; x0) ; f?(x) < 0 / (x0 ; x0 + ?) thì
x0 là một điểm cực đại
2.. Nếu f?(x) < 0 / (x0 - ? ; x0) ; f?(x) > 0 / (x0 ; x0 + ?) thì
x0 là một điểm cực tiểu
Tóm tắt : Qua x0 đạo hàm bậc nhất đổi dấu thì
x0 là 1 điểm cực trị
* Minh hoạ bằng bảng biến thiên :
x x0 x x0
y? + 0 - y? - 0 +
cđ
y y ct
* Quy tắc I :
a) Tìm f?(x) .
b) Tìm các điểm tới hạn .
c) Xét dấu đạo hàm .
d) Lập bảng biến thiên , rút ra điểm cực trị .
* Ví dụ I :
Tìm cực trị của hàm số :
a) Tìm f?(x) :

b) Tìm điểm tới hạn :
c) Xét dấu đạo hàm .
d) Lập bảng biến thiên , rút ra điểm cực trị .
x -? -1 0 1 +?
y? + 0 - || - 0 +
cđ
y || ct
* Ví dụ 2 :
Tìm cực trị của hàm số :
a) Tìm f?(x) :

b) Tìm điểm tới hạn :
c) Xét dấu đạo hàm .
d) Lập bảng biến thiên , rút ra điểm cực trị .
x -? 0 +?
y? + 0 +

y 0
* Ví dụ 3 :
Tìm cực trị của hàm số :
a) Tìm f?(x) :

b) Tìm điểm tới hạn :
c) Xét dấu đạo hàm .
d) Lập bảng biến thiên , rút ra điểm cực trị .
x -? 0 2 +?
y? + || - 0 +
0
y

2. Dấu hiệu II :
* Định lý 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f?(x0) = 0 ; f??(x0) ? 0 :
1.. Nếu f??(x0) > 0 thì x0 là một điểm cực tiểu .
2.. Nếu f??(x0 ) < 0 thì x0 là một điểm cực đại .
Cm s.g.k

* Quy tắc II :
a) Tìm f?(x) .Giải f?(x) = 0 tìm x1 ; x2
b) Tính f??(x) .
c) Xét dấu f?? (x) ? điểm cực trị .
* Ví dụ 1 : Tìm cực trị hàm số :
a) Tìm f?(x) = x3 ? 4x = 0 ? x = 0 ; x = � 2
b) Tính f??(x) = 3x2 ? 4 .
c) Xét dấu f?? (xi) ? +) f??(0) = -4 < 0 ? x = 0 cực đại
+) f ?? (� 2) = 8 > 0 ? x = � 2 là 2 cực tiểu .
* Ví dụ 2 :
Tìm cực trị của hàm số :
a) Tìm f?(x) :

b) Tính f??(x) = 2.cos2x
c) Xét dấu f?? .

. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập còn lại s.g.k.trang 60

Kính chào !
Làm bài tại lớp :
Tìm cực trị hàm số : y = x2.lnx

+) Tính y? và cho y? = 0 tìm nghiệm .
y?= 2x.lnx + x ; y? = 0 ? x = 0 và x = e-1/2
+) Tính y?? ? y?? = 2.lnx + 3 .
* Xét y??(0) = || ? không có cực trị tại x = 0 .