Gởi Lê Việt Hoàng

Kính nhờ thầy Nguyễn Minh Sang giúp em
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) , các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H .
EF cắt tia CB tại M . các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại K . OK cắt BC tại I, KD cắt đường tròn (O ; R) tại N và cắt EF tại T .
a) Chứng minh tứ giác EIDF nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R) .
c) Chứng minh ba điểm T , H , I thẳng hàng


Để giải bài toán này ta cần kết quả quen thuộc sau: Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MB = MC.MD (M là giao của AB với CD)
Dễ thấy các tứ giác BCEFF, BDHF, CDHE nội tiếp => các góc FBE, FCE, FDH, EDH bằng nhau và bằng nửa góc EIF => góc EDF = góc EIF => EIDF nội tiếp.
Các tam giác MBF và MEC; MDF và MEI đồng dạng => MB.MC = ME.MF = MD.MI => (MI – IC).(MI + IC) = MI2 – IC2 => IO.IK = IC2 = MI.(MI – MD) = IM.ID => các tam giác IDK, IOM đồng dạng (c.g.c.) => D là trực tâm tam giác OMK => OG.OM = OI.OK = OC2 = ON2 => các tam giác OGN, ONM đồng dạng => góc ONM vuông => đpcm.
Vẽ đường kính AS. Dễ thấy BHCS là hình bình hành => H,I,S thẳng hàng.
Gọi X là giao của AM với (O) => MX.MA = MB.MC = ME.MF => AEFX nội tiếp => AEHFX nội tiếp => góc AXH vuông, lại có góc AXS vuông => X, H, I, S thẳng hàng . Tiếp theo ta chứng minh X, T, H thẳng hàng. Gọi G là giao của OM với KT, J là giao của AS với EF. Do góc AEF = ABC = ASC => CEJS nội tiếp => góc EJS vuông => các tứ giác DGOI, TGOJ nội tiếp => MT.MJ = MG.MO = MD.MI = MX.MA => AXTJ nội tiếp => góc AXT vuông => X, T, H thẳng hàng => đpcm (Hoàng kiểm tra lại nhé, gõ vội có khi có lỗi chính tả)