Giúp Nguyễn Đình Quý

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I đường kính AB và đường tròn tâm K đường kính AC cắt nhau tại H. 1 đường thẳng D đi qua A thuộc miền ngoài của tâm giác cắt đường tròn I tại E, cắt đường tròn (K) tại F. a) Tìm quỹ tích trung điểm M của EF khi d thay đổi vị trí, b) Xác định vị trí của d để BCFE có chu vi nhỏ nhất.

Giải:






a)
Thuận: Gọi N là trung điểm BC, suy ra N cố định. Dễ thấy BE//MN//CF mà BE,CF vuông góc với d, nên NM vuông góc với d, hay góc AMN=1v. Do A,N cố định, suy ra M thuộc đường tròn ( C ) đường kính NA. Dễ thấy ( C) đi qua I,H,K.
Đảo: Do d thay đổi ngoài tam giác ABC, nên M chỉ chạy trên nửa đường tròn (J) đường kính IK chứa A . Lấy M’ trên (J) Gọi d’ là đường thẳng qua A,M’ cắt (I) tại E, cắt (K) tại F, ta C/M M’ là trung điểm EF. Thực vậy: dễ thấy BE,CF,NM’ vuông góc với d’ nên BE//NM’//CF mà N trung điểm CB nên M’ là trung điểm EF.
KL: Quỹ tích trung điểm M của EF là nửa đường tròn (J) đường kính IK chứa đỉnh A.
b). Khi d chứa AB, thì E trùng B, F trùng A và chu vi tứ diên nhỏ nhất bằng chu vi tam giác ABC, cũng tương tự d chứa AC thì F trùng C, E trùng A. do đó khi d ở vị trí là các tiếp tuyến của các đường tròn (I) và (K) thì chu vi BCEF nhỏ nhất bằng chu vu vi tam giác ABC.