Giới thiệu chương trình Sách giáo khoa giải tích 12

GIỚI THIỆU CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA GIẢI TÍCH 12
NGUYỄN THỊ KIM DUYÊN
TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG
A. TỔNG QUAN VỀ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT VÀ CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH 12:
I. Các mạch kiến thức
* Số học:
Chương Số phức được đưa vào cuối chương trình Giải tích 12 nhằm hoàn thành quá trình mở rộng các tập hợp số.(liên hệ Thế giới).
* Đại số và Giải tích cấp THPT gồm 3 phần: Đại số, Giải tích và Toán ứng dụng.
Đại số: Ở cấp THCS, học sinh đã được học những nội dung cơ bản và đơn giản về các phép toán đại số, phương trình, bất đẳng thức, về tập số và về hàm số.
Ở cấp THPT, học sinh được cung cấp khá đầy đủ kiến thức để hoàn thành phần Đại số với các chương: Phương trình, Bất phương trình đại số.
Phần Giải tích (bắt đầu bởi các chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai, Hàm số lượng giác) bao gồm:
Hàm số
Dãy số và Giới hạn
Đạo hàm
Tích phân
* Lượng giác: Học sinh đã được học những nội dung cơ bản và đơn giản về Biến đổi lượng giác ở lớp 10. Hàm số lượng giác Pt lượng giác học sinh đã được học ở 11
* Toán ứng dụng: (Xác suất, Thống kê) là nội dung mới mẻ so với những lần trước. Tuy nhiên để học tốt phần này, phải trang bị tốt các kiến thức về Đại số (Tập hợp, Phương trình, Bất phương trình) và về Giải tích (Hàm số, Hàm số bậc nhất và bậc hai, Hàm số lượng giác). Ngoài ra, cần học phần Tổ hợp thật tốt để tiếp thu các kiến thức về Xác suất.
Khác với các chương trình Đại số và Giải tích trước đây, lần này các nội dung của ba phần trên được đan xen nhau để phục vụ cho việc tiếp thu và ứng dụng toán vào cá phần khác (như Toán học ứng dụng) và các môn khác (như Vật lý, Hoá học, …). Cách sắp xếp này không giữ được tính hệ thống đẹp đẽ về mặt toán học nhưng làm tăng hiệu quả của việc học toán.
Giải tích (cùng với Đại số) là nội dung quan trọng nhất của chương trình môn học này ở THPT.
Nền tảng của Giải tích là Giới hạn. Tuy nhiên, việc tiếp thu định nghĩa chính xác về giới hạn là điều khó khăn đối với học sinh phổ thông. Vì thế, chương trình quy định không nêu định nghĩa chính xác mà chỉ cung cấp một cách trực quan khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính giới hạn đơn giản cho học sinh.
Khái niệm Dãy số được trình bày trước Giới hạn là để chuẩn bị cho việc học giới hạn của dãy số. Lưu ý rằng, trong Đại số, các phép toán chỉ được thực hiện trên một tập hữu hạn các số. Về khái niệm giới hạn của một dãy số, lần đầu tiên học sinh được biết đến phép toán trên một tập vô hạn các số.
Đạo hàm và Tích phân là hai phần chính của Giải tích toán học. Đối với cả hai khái niệm, ngoài lí thuyết (định nghĩa, các tính chất và phép toán) còn có phần rất quan trọng nữa là ứng dụng.
Vì chương trình lớp 11 có thêm hai chương Tổ hợp – Xác suất và Đạo hàm nên chương Hàm số luỹ thừa – Hàm số mũ – Hàm số lôgarit được chuyển sang lớp 12. Việc sắp xếp chương này sau chương Đạo hàm và ứng dụng dẫn tới một số thay đổi trong việc trình bày các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit. Ta không vẽ đồ thị bằng cách lấy từng điểm rồi nối lại mà tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đó theo đũng sơ đồ đã học trong chương I, SGK Giải tích 12. Vì Đạo hàm được học ở lớp 11 khi chưa biết hàm số mũ và hàm số lôgarit nên ở đây, trước khi khảo sát các hàm số này, ta phải nêu và chứng minh công thức đạo hàm của chúng.
II) THAY ĐỔI BỐ CỤC CHƯƠNG TRÌNH
Trong chương trình CCGD (1990) và trong SGK hiện hành, hai chương “Đạo hàm” và “Ứng dụng đạo hàm” sắp xếp liên tiếp nhau và là hai chương đầu của Giải tích 12. Cách sắp xếp như vậy rất đẹp về mặt hệ thống toán học, dễ trình bày và dễ học. Trong chương trình mới, chương “Đạo hàm” học ở cuối Đại số và Giải tích 11 ngay sau chương “Giới hạn”, còn chương “Ứng dụng của đạo hàm” lại chuyển thành chương đầu Giải tích 12. Cách sắp xếp này có thuận lợi là “Đạo hàm” học ngay sau “Giới hạn” làm cho người học dễ tiếp thu và dễ thấy bản chất của đạo hàm. Đạo hàm là một loại giới hạn:


Tuy nhiên, cách sắp xếp này lại không thuận ở chỗ: sau khi học đạo hàm, phải cách mấy tháng hè mới được học ứng dụng đạo hàm. Cách sắp xếp của chương trình mới nhằm ưu tiên cho tính hệ thống chung giữa các môn học. Trong chương trình các môn Lý, Hoá, … đòi hỏi khái niệm đạo hàm sớm hơn.
Chương “Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit” phải đưa vào chương trình Giải tích 12 vì không còn thời gian để học trước chương “Đạo hàm”. Vì vậy, nhiều công thức đạo hàm quen thuộc như đạo hàm của y  x (  ), y  ax, y  logax, … chưa được học. Vì thế, chẳng hạn, trước chương II không được viết:

Trong chương V, Đại số và Giải tích 11, chỉ mới có công thức đạo hàm căn bậc hai:

Nếu cần, trước khi sử dụng ta phải chứng minh các công thức đạo hàm của căn bậc ba trở lên. Các chứng minh tương tự cách chứng minh công thức (*), không khó nhưng không được bỏ qua.
 Trong chương trình cũ, đồ thị của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit chỉ được vẽ một cách thủ công (đó là xác định một số điểm rồi nối lại). Cách làm thiếu chính xác này là cách làm có từ thời xưa, trước khi có những công cụ nghiên cứu tính chất biến thiên của hàm số bằng đạo hàm. Ngày nay, việc học các hàm số này đặt sau các chương “Đạo hàm” và “Ứng dụng của đạo hàm”, chúng phải được khảo sát và vẽ đồ thị đúng sơ đồ được học và bằng công cụ đạo hàm:
B.CÁC NỘI DUNG CỤ THỂ TỪNG CHƯƠNG
Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của HS
Chuẩn
$1. S? d?ng bi?n ngh?ch bi?n c?a h�m s?
$2 . C?c tr? c?a h�m s?
$3. Giỏ tr? l?n nh?t v� giỏ tr? nh? nh?t c?a HS
$4. Du?ng ti?m c?n
$5. Kh?o sỏt SBT v� v? DT c?a h�m s?
Nâng cao
$1. Tớnh don di?u c?a h�m s?
$2. C?c tr? c?a h�m s?
$3. Giỏ tr? l?n nh?t v� giỏ tr? nh? nh?t c?a HS
$4. D? th? c?a h�m s? v� phộp t?nh ti?n h? t?a d?
$5. Du?ng ti?m c?n c?a d? th? h�m s?
$6. Kh?o sỏt SBT v� v? DT c?a m?t s? h�m da th?c
$7. Kh?o sỏt SBT v� v? DT c?a m?t s? h�m phõn th?c h?u t?
$8. M?t s? b�i toỏn thu?ng g?p v? d? th?



Những điểm cần lưu ý
-Không chỉ xét sự biến thiên của hàm số trên một khoảng mà còn trên một nửa khoảng hay một đoạn.
-Về cực trị của hàm số : không còn nêu khái niệm lân cận của điểm xo mà thay bằng cách nói tồn tại khoảng (a;b) chứa xo và khoảng (a;b) thuộc tập xác định của hàm số.Trong định nghĩa điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu của hàm số phải là điểm trong của tập xác định
-Hai qui tắc tìm cực trị của hàm số: trong thực hành nếu dùng qui tắc 1tuyệt đối không được bỏ qua điều kiên hàm số liên tục tại điểm xo còn tại xo hàm số có đạo hàm hay không ta không cần quan .Có những trường hợp hàm số không có đạo hàm tại x0 nhưng vẫn đạt cực trị tại điểm đó.Tuy nhiên trong chương trình GT12 (chuẩn) không đưa ra hàm số loại này. tâm.Gv cần phân tích mặt mạnh mặt tồn tại của mỗi qui tắc và khuyên hs khi nào thì nên dùng qui tắc 1 khi nào thì nên dùng qui tắc 2


-Để giảm tải, trong chương trình mới không đòi hỏi học phần cung lồi, cung lõm và điểm uốn. Rõ ràng thiếu những phần này thì việc khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số mất chính xác. Vả lại, đã mấy chục năm qua, học sinh vẫn được học đầy đủ và đây là nội dung không khó. Nhiều ý kiến cho rằng bỏ phần này là không hợp lý và đã có kiến nghị đưa vào chương trình nội dung này như trước. Chính vì vậy, trong SGK, có viết “Cung lồi, cung lõm và điểm uốn” khá đầy đủ dưới dạng bài đọc thêm. Nên khuyến khích học sinh đọc và khi có điều kiện thì giải thích thêm cho học sinh thấy rõ ý nghĩa của những nội dung này.Từ đó học sinh vẽ khá chính xác đồ thị hàm số. -Riêng đối với ct nâng cao :Khái niệm điểm uốn chỉ đưa vào với mục đích vẽ đồ thị của các hàm số đa thức. Do đó chỉ giới thiệu một cách đơn giản, trực quan (trong bài KSHS bậc ba), không xét tính lồi lõm.
-Về tiệm cận của đồ thi hàm số trong khi giảng dạy cần lưu ý hs khi viết pt tiệm cận cần phân biệt rõ các loại giới hạn như:
1) Tiệm cận ngang:
hoặc
2) Tiệm cận đứng:
hoặc
3) Tiệm cận xiên:
hoặc
-Các bước KSHS được cải tiến nhằm đơn giản hóa bài làm của HS: Chỉ lập một bảng biến thiên duy nhất (không cần lập bảng xét dấu đạo hàm).
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Xét sự biến thiên của hàm số
Tìm giới hạn tại vô cực (nếu có) của hàm số
Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị
Lập bảng biến thiên của hàm số : Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có), lập bảng biến thiên
3. Vẽ đồ thị của hàm số
a) Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
b) Xác định một số điểm đặc biệt (giao điểm với các trục tọa độ, điểm uốn, một vài điểm dễ thấy...). Dựa vào đó và bảng biến thiên để vẽ đồ thị.
c) Nhận xét về đồ thị (tính chẵn lẻ, trục và tâm đối xứng ...)
-Có rất nhiều bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. Các bài toán này rất phong phú, đa dạng và rất hay,tuy nhiên nhiều dạng vượt quá yêu cầu, lại được Giáo viên đào sâu ngày càng khó hơn cho học sinh nhất là các lớp luyện thi(mà không cần thiết).Chính vì thế trong chương trình sự hạn chế được quy định một cách rõ ràng. Cụ thể, chỉ xét các bài toán: Sự tương giao 2 đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (viết phương trình tiếp tuyến đã học ở lớp 11).
Chương II – Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chuẩn
$1. Lũy thừa
$2. Hàm số lũy thừa
$3. Lôgarit
$4. Hàm số mũ,hàm số lôgarit
$5. Phương trình mũ và lôgarit
$6. Bất phương trình mũ và lôgarit
Nâng cao
$1.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
$2. Lũy thừa với số mũ thực
$3. Lôgarit
$4. Số e và lôgarit tự nhiên
$5. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
$6. Hàm số lũy thừa
$7. Phương trình mũ và lôgarit
$8. Hệ phương trình mũ và lôgarit
$9. Bất phương trình mũ và lôgarit
Những điểm cần lưu ý

Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên dương được học từ lớp 7. Đầu tiên ta định nghĩa:


Sau đó, người ta cũng định nghĩa như trên với a là số thực và chứng minh rằng mọi tính chất của luỹ thừa với cơ số hữu tỷ vẫn đúng trong trường hợp a  R.
Ở đây, trước khi học tiếp phần mở rộng khái niệm số mũ của luỹ thừa càn nhắc lại định nghĩa và tính chất đã học về luỹ thừa.
Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ đã gây nhiều tranh cãi và đã có những thay đổi trong cách trình bày khái niệm này. SGK GT 12 Thí điểm chương trình phân ban định nghĩa: ar (r  Q) với a là số thực khác 0 (có thể âm). Tuy nhiên, lần này theo quy định của chương trình, khái niệm luỹ thừa với số mũ chỉ được đưa ra với điều kiện cơ số dương (giống như SGK chỉnh lý hợp nhất).
Như đã trình bày ở trên, với giả thiết a  0 trong định nghĩa ar (r  Q) cần rất thận trọng trong việc giải nhiều bài toán. Chẳng hạn, không được phép viết thế này:


Mà phải đổi biến xt và đưa về:

Về hàm số luỹ thừa cần lưu ý:

Với định nghĩa, “hàm số y  x với   R được gọi là hàm số luỹ thừa”, tập xác định của hàm số luỹ thừa tuỳ thuộc vào . Cụ thể là, với  nguyên dương thì TXĐ là R, với  không nguyên thì TXĐ là (0 ; ).
Vì trong mọi trường hợp, các TXĐ đều chứa (0 ; ) nên khi khảo sát y  x trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát (và vẽ đồ thị) trên khoảng (0 ; ).
Về luỹ thừa với số mũ thực, không yêu cầu học sinh hiểu kỹ khái niệm mà chỉ yêu cầu ứng dụng.

Cần chú ý các điều kiện hạn chế đối với cơ số của lũy thừa tùy theo số mũ.
Lũy thừa

Cần so sánh với các phép toán về lũy thừa với số mũ nguyên dương mà hs đã học
Xây dựng công thức đạo hàm của 3 hàm số và sử dụng để khảo sát hàm số.Trước kia lấy một số điểm thuộc đồ thị hàm số rồi nối lại như vậy không chính xác.
-Hàm số logarit sgk cũ định nghĩa thông qua khái niệm hàm ngược.sgk mới xây dựng trực tiếp
Yêu cầu nhẹ đối với phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. Không xét các trường hợp: chứa ẩn đồng thời ở cơ số và số mũ (hay biểu thức dưới dấu lôgarit); biện luận theo tham số.





Chú ý đến biến đổi đồ thị
 §å thÞ cña hai hµm sè y = ax vµ y = a-x ®èi xøng víi nhau qua trôc tung.
 §å thÞ cña hai hµm sè y = logax vµ y = - logax đối xøng víi nhau qua trôc hoµnh.
 §å thÞ cña hai hµm sè y = ax vµ y = logax ®èi xøng víi nhau qua ®­êng ph©n gi¸c cña gãc phÇn t­ thø nhÊt
Chú ý điều kiện xác định của phương trình ,bất phương trình
VÝ dô
Gi¶i ph­¬ng tr×nh log(x2  6x + 7) = log(x  3).
Lêi gi¶i sai
log(x2  6x + 7) = log(x  3)  x2  6x + 7 = x  3
 x2  7x + 10 = 0.
Suy ra ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x = 2
vµ x = 5 (!)
Sai lÇm cña lêi gi¶i trªn lµ quªn §KX§ cña ph­¬ng tr×nh
Chương III – Nguyên hàm -tích phân
và ứng dụng
$1. Nguyên hàm
$2. Tích phân
$ 3.Ứng dụng của tích phân trong hình học
$1. Nguyên hàm

$2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

$3. Tích phân

$4. Một số phương pháp tính tích phân
$5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
$6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể



Những điểm cần lưu ý
-sgk cũ:
Nguyên hàm của một hàm số là một họ ,không duy nhất.
sgk mới quan niệm hai hàm số sai khác nhau một hằng số là một vì thế nguyên hàm của một hàm số là duy nhất.Trong giảng dạy cần lưu ý hs khi kết luận về nguyên hàm của một hs cần nói rõ là trên tập nào.
- Giải pháp định nghĩa nguyên hàm trên một đoạn khi không có khái niệm đạo hàm một bên.
Trong SGK Giải tích 12, ta không nêu riêng định nghĩa nguyên hàm trên một đoạn. Mặc dù vậy, khi định nghĩa tích phân, ta vẫn nói: “Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên một đoạn …”. Ở đây, ta hiểu đạo hàm của f(x) tại các đầu mút là đạo hàm hai phía bình thường với chú ý rằng giới hạn:


được xét với điều kiện x0, x0x đều thuộc khoảng xác định. Tuy nhiên, không nên giải thích quá sâu như thế để tránh gây thắc mắc cho học sinh.
-Định nghĩa tích phân bằng công thức Newton – Leibniz.
-Khi tính tích phân bằng định nghĩa cần chú ý rằng hàm dưới dấu tích phân phải liên tục và xác định trên đoạn lấy tích phân.
-Định nghĩa tích phân chỉ định nghĩa cho trường hợp ab phải qui ước riêng


Tính chất 2: chỉ công nhận khi k0 vì k0 vế phải0, vế tráic

Trong SGK Giải tích 12 có trình bày phép biến đổi biến số khi tìm nguyên hàm và tích phân. Chủ yếu là rèn luyện kĩ năng tính tích phân và ứng dụng trong hình học.
Cũng như đối với đạo hàm, SGK chỉ dừng lại ở việc trình bày ứng dụng hình học của tích phân như tính diện tích, thể tích. Trong phần tính thể tích của vật thể tròn xoay, ta không xét hình tròn xoay được tạo nên bởi các đường khi quay quanh trục Oy.
Chương IV – Số phức
$1. Số phức

$2.Cộng trừ và nhân số phức
$3.Phép chia số phức

$4 .Phương trình bậc hai với hệ số thực
$1. Số phức

$2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

$3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng




Những điểm cần lưu ý
- Không đi sâu vào quá trình xây dựng tập số phức
Đây là lần đầu tiên chương Số phức được đưa vào chương trình Toán ở THPT. Chương này kết thúc chương trình Giải tích 12 và cũng là kết thúc chương trình Đại số và Giải tích ở THPT. Việc đưa Số phức vào chương trình nhằm hoàn thành việc mở rộng các tập hợp số từ tập số tự nhiên:
    Q  R C
Hiểu biết về số phức thực sự rất cần thiết đối với học sinh trung học vì ngoài việc hoàn thiện kiến thức về các tập số, nhiều môn học (như Vật lý, Sinh học, …) đã đòi hỏi áp dụng số phức rồi.
-Học sinh học chương trình chuẩn không được học dạng lượng giác của số phức vì lí do giảm tải. Trong chương IV, giáo viên cần lưu ý học sinh thấy ý nghĩa của định lý cơ bản của đại số:
“Mọi phương trình đại số bậc n (n  1) với hệ số phức đều có n nghiệm phức”.
Định lý này hoàn thành quá trình mở rộng tập hợp số gắn với sự tồn tại nghiệm
Để trình bày phép giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức, ta cần biết căn bậc hai cuả các số thực âm. SGK không nêu định nghĩa chính thức căn bậc hai của một số phức.
Từ đẳng thức (i)2  1, ta có căn bậc hai của 1 là i. Từ các căn bậc hai của 1, bằng trực giác, HS suy ra căn bậc hai của các số thực âm khác. Biểu thức tổng quát chỉ các căn bậc hai của số thực a  0 sẽ giúp ta viết được công thức nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực trong trường hợp biệt số âm.
-Không khai thác các ứng dụng của số phức trong hình học
-Sau chương này, các bài toán giải phương trình đại số cần nói rõ yêu cầu tìm nghiệm thực hay nghiệm phức.
-Riêng chương trình nâng cao trình bày thêm dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Chuẩn có đọc thêm: Định lý Lagrăng
Nâng cao có đọc thêm:
“Cung lồi, cung lõm, điểm uốn”.
Nâng cao có xét tiệm cận xiên, có khảo sát hàm số: