Giới hạn hàm số

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1 HK1 0708
BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ (SINH VIÊN)


TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (10/2007)
NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ
2- ĐỊNH NGHĨA ?ĐƠN GIẢN? GIỚI HẠN HÀM SỐ
3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ
4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN
5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT
6- QUY TẮC LÔPITAN
7- GIỚI HẠN KẸP
8- GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY. KHÔNG GIỚI HẠN
Ý TƯỞNG GIỚI HẠN--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm y = f(x), MXĐ D
x0 ? Giá trị f(x0)?
VD: f(x) = lnx & x0 = ?1
VD: f(x) = sinx/x & x0 = 0 ? D
Gtrị
quanh 0:
Tương tự:
MINH HỌA HÌNH HỌC-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đồ thị hàm:
Chú ý lân cận x0 = 0:
f(0) không xác định, nhưng giá trị f(x) lại ?rất gần? 1 khi x ?rất gần? 0 ? Đồ thị liên tục. Có thể xem ?f(0)? = 1 ???
Cần công cụ xác định giá trị hữu hạn ?f(x0)? tại x0 ? D:
Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x0 (có thể không xác định tại x0!). Hàm f(x) có giới hạn = L khi x  x0  Giá trị f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x0. Ký hiệu:
VD: Đoán (không chứng minh) giới hạn
Giải: Chú ý hàm f(x) không xác định tại x = 1
Từ bảng giá trị, có thể phỏng đoán:
GIỚI HẠN HÀM SỐ ? ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x  1
y=f(x)
y=g(x)
Giá trị f tại x0 (có hay không có) không ảnh hưởng đến
GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ:
Gợi ý: Tính
SAI!
Tuy nhiên từ đồ thị hàm
cũng như giá trị hàm tại
Có vô số giá trị x gần 0 tùy ý, tại đó f = 0 lẫn f = 1. KL: Giới hạn đang xét không !
ĐOÁN ? KHÔNG CHẮC CHẮN 100%! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L
Minh họa hình học:
Ngôn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g  | f – g |     > 0. x “đủ gần” x0:   > 0 và xét | x – x0 | < 
ĐN:
Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng để chứng minh lý thuyết chứ không sử dụng để tìm giới hạn!
x0
e
d
x
f(x)
f
ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Cho
Tìm  như trong đnghĩa khi  = 0.01
Giải:
  x  1:
 = 0.01:
VD: Giải bằng đồ thị câu hỏi tương tự:
Giải: | f(x) – 4 | < 0.1  3.9 < f(x) < 4.1. Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1
VÍ DỤ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khi f(x)    (tức L =  ) hoặc x    (tức x0 =  ): Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x0|  Cần điều chỉnh!
Chú ý: Đại lượng A    A > M M & B  –  B < m m
Tương tự cho trường hợp f(x)  –: Chỉ cần viết lại f(x) < m!
lim f(x) = L khi x  – & lim f(x) =   khi x   : tương tự
GIỚI HẠN VÔ CÙNG ? GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
G. hạn trái: x  x0  x  x0 & x < x0 (tức x  x0 từ bên trái)
Minh họa:
VD: Giới hạn trái x  0  x < 0:
G. hạn phải: x  x0+  x  x0 & x > x0 (tức x  x0 từ bên phải)
Minh họa:
Mệnh đề:
VD: Không tồn tại
vì
GIỚI HẠN MỘT PHÍA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x  a. Khi đó
GIỚI HẠN TỔNG ? HIỆU ? TÍCH ? THƯƠNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y = g(x)
b/ Tính giá trị các giới hạn sau nếu chúng tồn tại
y=f(x)
y=g(x)
a/ Các giới hạn sau liệu có tồn tại hay không:
Giải: a/
b/ 1/ –4. 2/ – 3/: Không 
VÍ DỤ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho n  N và hằng số a, c. Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a:
Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi 1 công thức chứa các hàm cơ bản & a  Df 
Tính chất trên là tính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài 3)
GIỚI HẠN HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Tìm các giới hạn
Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x  :
Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định):
b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp nhưng k0 x/định!):
VÍ DỤ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GIỚI HẠN HÀM SỐ ? NGÔN NGỮ DÃY (PHỔ THÔNG)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ngôn ngữ ?dãy?:
VD: Chứng minh không có giới hạn:
Nhận xét: Tương tự dùng dãy con chứng minh dãy phân kỳ
a/ 2 dãy:
b/ 2 dãy ???
Đừng nhầm lẫn với ví dụ sau. Chứng minh không ?
Không có giới hạn tại x0 (Thuận tiện chứng minh không ? lim):
GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mũ, ln:
Lượng giác
Dạng 1? : Sử dụng số e
Cách 1: Dùng số e. Cách 2: Lấy ln 2 vế
VD:
Kỹ thuật:
QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng vô định: 0/0, ?/?, ? ? ?, 0.?, 1? , 00 ? Biến đổi về x/định
Phương pháp: Nguyên tắc Lôpitan, vô cùng bé tương đương
Nguyên tắc Lôpitan: Tính giới hạn (tồn tại) dạng 0/0, ?/?
Chú ý : Đơn giản hoá biểu thức
VD: Tính
Không dùng được Lôpitan khi giới hạn không ?.
GIỚI HẠN KẸP -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giới hạn kẹp
Hệ quả:
VD: Tìm các giới hạn:
Giải: a/ Không ? b/ Kẹp c/ Đặc biệt:
VD: Chứng minh