Giáo trình các tập hợp số- ban word (chủ đề 2) 2010







Mục tiêu
Chủ đề 2
Số tự nhiên

A. Kiến thức

Trang bị cho người học những kiến thức về:

– Tập hợp tương đương và bản số của tập hợp.

– Xây dựng tập các số tự nhiên bằng lí thuyết tập hợp.

– Xây dựng các phép toán cộng và nhân trên tập các số tự nhiên bằng phép toán trên các bản số.

– Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên.

– Nguyên lí quy nạp và phương pháp chứng minh quy nạp.

– Biểu diễn số tự nhiên và các dấu hiệu chia hết.

B. Kĩ năng

– Giải toán trong tập các số tự nhiên.

– Vận dụng vào việc giảng dạy Toán ở các lớp bậc Tiểu học.

C. Thái độ

Đây là một chủ đề mang tính chất lí thuyết nhiều do vậy người học cần "thoát li" khỏi những định hình có sẵn về các số thông thường. Đồng thời người học cần thấy được ý nghĩa của việc "xây dựng lại" tập số tự nhiên, trên cơ sở đó giúp cho họ giảng dạy tốt hơn môn Toán ở các lớp dưới của bậc Tiểu học.

D. Giới thiệu chủ đề 2


STT

Tên tiểu chủ đề

Trang

1
Bản số của tập hợp
57

2
Số tự nhiên
65

3
Lí thuyết chia hết trong tập các số tự nhiên
73

4
Hệ ghi số
87


5

Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học một số
vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học

99

Mối liên hệ giữa các tiểu chủ đề

Toàn bộ 4 tiểu chủ đề đầu tiên cung cấp đầy đủ và trọn vẹn các kiến thức cơ bản về số tự nhiên.
55





Trên cơ sở nắm vững được các tiểu chủ đề 1– 4, tiểu chủ đề 5 hướng dẫn cho người học biết vận dụng các kiến thức vào giảng dạy số tự nhiên ở các lớp Tiểu học.
Lí thuyết số tự nhiên đóng một vai trò cơ bản trong Toán học. Khi chưa có lí thuyết tập hợp thì nó được coi là điểm xuất phát của toàn bộ Toán học.
Ta có thể xây dựng số tự nhiên bằng việc đưa ra một hệ tiêu đề (Hệ tiêu đề Peano). Song cũng có thể xuất phát từ lí thuyết tập hợp.
Ngày nay, xuất phát từ lí thuyết tập hợp ta có thể dựng được toàn bộ lí thuyết số tự nhiên. ý cơ bản mà từ xưa đến nay người ta vẫn thường dạy cho các trẻ em là: số tự nhiên dùng để "đếm" các tập hợp "hữu hạn"; và hai tập hợp hữu hạn có cùng một số phần tử, nếu tồn tại một song ánh từ tập này lên tập kia. Vì vậy, ta hãy bắt đầu bằng việc nghiên cứu những tập hợp sao cho tồn tại một song ánh từ tập hợp này lên tập hợp kia. Điều này sẽ đưa ta tới khái niệm bản số, và từ đó tới khái niệm số tự nhiên.
Để xây dựng lí thuyết số tự nhiên, ta phải vận dụng một số định lí mà cách chứng minh vượt ra khỏi yêu cầu của giáo trình này. Vì vậy, ta sẽ công nhận chúng (định lí Căngto – Becxtainơ) hoặc phát biểu chúng dưới dạng tiên đề (tiên đề về tập hợp số tự nhiên, tiên đề quy nạp).




































56





Tiểu chủ đề 2.1. Bản số của tập hợp



Thông tin cơ bản

2.1.1. Tập hợp tương đương

2.1.1.1. Định nghĩa
Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng A tương đương với B, kí hiệu là A ~ B, nếu tồn tại một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.

Ví dụ 1.1:

1) Cho A = {a, b, c}; B = Khi đó A ~ B vì có song ánh
f: A → B, a a b a c a

2) Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm của cạnh AB tương đương với tập các điểm của cạnh AC. Thật vậy:
Đặt [AB] là tập các điểm của cạnh AB; [AC] là tập các điểm của cạnh AC.
Ta có song ánh f: [AB] → [AC]

xác định bởi f(A) = A; f(B) = C và nếu x ∈ [AB