Giáo án cho người học tiếng Bồ

TEMA 1 LIMITES DE FUNCÕES
Introducão ao conceito de limite
1.1.1 Exemplos
1. Considere a funcão f(x) = 3x + 1 e a sucessão de termo geral xn = 2 +

a) Determine a sucesscão de termo geral yn = f(xn).
b) Calcule
e
.
Resolucão
yn = 3
+ 1 = 7 +


=
.

.
Observação
yn
7 quando xn
2
Seja (xn) uma qualquer sucessão de valores de x convergente para 2 por valores diferentes de 2. Também temos yn
7 quando xn
2.
Escreve-se
e lê-se ‘ o limite de f(x) quando x tende para 2 é 7’
2. Considere a funcão f(x) =
e uma qualquer sucessão (xn) com xn ≠ - 2 e xn
2.
a) Determine a sucessão yn = f(xn).
b) Calcule
.
Resolucão
Se xn ≠ 2 então, yn =
.
Temos yn = xn – 2 simplicamos

Escreve-se
e lê-se ‘ o limite de f(x) quando x tende para – 2 é – 4’.
1.1.2 Definição ( de Heine)
Seja f uma função real, de variável real, e a um ponto de acumulação do seu domínio.
Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a e escreve-se

Sse a toda a sucessão de valores de x do domínio de f tendente para a ( sendo esses valores diferentes de a) corresponde uma sucessão de valores de f(x) tendente para b.




Exemplo 1. Calcule
a)

b)

Resolução
a) Seja (xn) uma qualquer sucessão de valores de x , xn
R {2},
n
N e xn
2 ou
=2. Temos
.
b) Seja (xn) uma qualquer sucessão de valores de x , xn
R {1},
n
N e lim xn = 1.
Temos
e lim xn = 1
Portanto,
1.1.3 Limites infinitos
Introdução
x
+ ∞ «  x tende a mais infinito sinifica
M
R, temos sempre x > M »
x
- ∞ «  x tende a menos infinito sinifica
m
R, temos sempre x < m »
Nota:




n
N ;
;
.

com n é impar ;
com n é par.
 Propriedades dos limites de funções
Limite de uma constante
O limite de uma função constante é a própria constante:


Limite de uma soma
Se f(x) e g(x) tendem papra limites finitos quando x tende para a, então,


Exemplo 2 Calcule
a)
; b)
.
a)

b)

Limite de um produto
Se
então,

Regra de produto dos limites infinitos, quando x tende para a ( finito ou infinito)

f(x) tende para
b
b > 0
b = 0
b < 0
+ ∞
- ∞

g(x) tende para
c
+ ∞
- ∞
± ∞
+ ∞
- ∞
+ ∞
- ∞
- ∞

f(x).g(x) tende para
bc
+ ∞
- ∞
?
- ∞
+ ∞
+ ∞
- ∞
+ ∞

Exemplo 3 Calcule
a)
b)

c)
d)
.
Resolução
a)

b)
.
c)

d)

Limite de um quociente
Se
em que c ≠ 0, então,

Nota:

em que g(x)>0 quando x
.
Exemplo 4 Calcule
a)
b)

Resolção
a)
; porque :

b)
porque (x+1)2 > 0 ;

Limite de uma raiz
Se

então,

admitindo, no caso de p ser par, que f(x) ≥ 0,

Exemplo 5 Calcule
a)
b)

c)

Resolução
a)

b)

c)

 Indeterminações
Nos casos em que, por aplicação directa dos teormas sobre limites, somos conduzidos aos símbolos
∞ - ∞ ; 0. ∞ ;
.
a que se chama síbolos de indeterminação, temos de seguir outro caminho para procurar, se existir, o limite, isto é, «  levantar a indeterminação »
Exemplo 6 Calcule
a)
;
b)
 ; (0. ∞)
c)
;
d)
 ;

e)
;
g)
 ;

h)