Giai tich

1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích hàm nâng cao

Chương 1.
Không gian Banach và các định lý cơ bản



Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh
http://kinhhoa.violet.vn
2
ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
3
4
Đánh giá, kiểm tra.
5
Tài liệu tham khảo
1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002.
2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978.
3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997.
4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997.
5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000.
6. Walter Rudin. Functional analyse. MC Graw – Hill Book company, 2000.
7. N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972.
6
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
0.3 – Định lý Banach-Steinhauss.
0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
7
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của nó có xác định một quan hệ < sao cho:
1. a < a (phản xạ)
2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu)
3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng)
Khi đó quan hệ < được gọi là quan hệ thứ tự trên tập S và S được gọi là sắp một phần theo thứ tự đó.
9
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kiểm tra S là tập được sắp một phần.
13
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■.
16
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Để sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn
Suy ra F(x) liên tục và
Vậy ||F|| = ||f||
19
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
21
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Theo hệ quả 1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E:
23
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
24
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Tương tự phần chứng minh hệ quả 3.
25
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Sử dụng Hệ quả 2 (slide 19), đặt M = {0}
26
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Sử dụng hệ quả 3.
27
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Sử dụng bài tập 1.
28
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Khi đó L(M) là không gian con đóng của E. Sử dụng bài tập 2.
29
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
30
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.
31
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.
32
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.
33
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 8.
34
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
35
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Tương tự hoàn toàn, ta tìm được
Khi đó phiếm hàm cần tìm là
36
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
37
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
38
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) Trong R3, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là những tập hợp lồi.
ví dụ
2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a, bán kính r là một tập hợp lồi.
Hướng dẫn.
39
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tập hợp lồi.
4) Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi.
40
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
41
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
42
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh bổ đề 1
43
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
44
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
45
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
46
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh bổ đề 2
47
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
48
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt C = AB.
1) Kiểm tra C lồi
2) Kiểm tra C mở
Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho
49
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
50
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
51
3. Định lý Banach - Steihauss.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
52
3. Định lý Banach - Steihauss.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------