Giải tích 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN

BÀI GIẢNG
Chương 1: Số thực và hàm số một biến số thực
Chương 2: Giới hạn và liên tục
Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm số một biến số
Chương 4: Tích phân bất định
Chương 5: Tích phân xác định và ứng dụng
Chương 6: Chuỗi
1.1. Số thực
1.1.1. Một số khái niệm
Tập các số thực: R = ( – , +).
Tập các số tự nhiên: N = {0, 1, 2, ...}.
Tập các số nguyên dương: N* = {1, 2, ...}.
Tập các số nguyên: Z = {..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...}.
Tập các số hữu tỷ: Q = {m/n : 0  n, m Z, m và n nguyên tố cùng nhau (tức là chỉ có ước chung là 1 và – 1)}.
Tập các số vô tỷ: RQ
Chú ý rằng N  Z  Q  R.
1.1.2. Một số tính chất
Số phần tử của tập A được gọi là lực lượng của tập đó,
Ký hiệu là card(A), hoặc n(A) hoặc |A|.
Về mặt lực lượng, các tập Z và Q đều tương đương với tập N (tức là giữa chúng có tương ứng 1 – 1), và được gọi là vô hạn đếm được.
Tập các số vô tỷ RQ và tập các số thực R đều không đếm được (continum).
Định nghĩa 1.1.1:
Số thực x được gọi là cận trên của tập A  R nếu a ≤ x với mọi a  A. Khi đó ta nói tập A bị chặn trên .
Số thực x được gọi là cận dưới của tập A  R nếu a ≥ x với mọi a  A. Khi đó ta nói tập A bị chặn dưới.
Tập A được gọi là bị chặn nếu nó đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới.
Ví dụ: Xác định cận trên và cận dưới của tập hợp:
A = [-2; 3] ; B = (-2; 3); C = (-2; 3]; D = [-2; 3)
Định nghĩa 1.1.2:
Cận trên bé nhất (nếu có) của tập A được gọi là cận trên đúng của A, ký hiệu là sup A .
Cận dưới lớn nhất (nếu có) của tập A được gọi là cận dưới đúng của A, ký hiệu là inf A.
Nếu sup A thuộc A thì đó là phần tử lớn nhất của A, ký hiệu là max A.
Nếu inf A thuộc A thì đó là phần tử nhỏ nhất của A, ký hiệu là min A.
Ví dụ: Xác định cận trên đúng, cận dưới đúng, GTLN, GTNN nếu có của các tập hợp sau:
A = [-2; 3] ; B = (-2; 3); C = (-2; 3]; D = [-2; 3)
Chú ý: Tập các số thực R không có cận trên đúng và cận dưới đúng.
Ta bổ sung vào tập R hai số đặc biệt là –  và + , thoả mãn một số tính chất sau:
x R, (– ) + x = –  (+) + x = +
(– ) + ( – ) = –  (+) + (+) = +,
(+).( – ) = – .
Các trường hợp sau không xác định:
(+) + ( – ), (+) – (+), ()/(), 1.
Tiên đề cận trên đúng và cận dưới đúng:
Mọi tập A  R không rỗng và bị chặn trên đều có cận trên đúng thuộc R.
Mọi tập A  R không rỗng và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng thuộc R.
Nguyên lý Archimede :
Cho trước x > 0 và y > 0, tồn tại k  N* sao cho k.y > x.
Hệ quả: xR, k Z sao cho k  x < k + 1.
Chứng minh
Định lý 1.1.1: Giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại một
số hữu tỷ.
Hệ quả 1.1.2. Giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại vô số số hữu tỷ.
Định lý 1.1.2.
Tổng và tích của hai số hữu tỷ là một số hữu tỷ.
Tổng của một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ.
Tích của một số hữu tỷ khác 0 với một số vô tỷ là một số vô tỷ.
Hệ quả: Giữa hai số hữu tỷ hay vô tỷ khác nhau luôn tồn tại vô số số vô tỷ.
Chứng minh:
Giả sử nN*, n.y  x.
Xét E = {n.y | nN*} R, E ≠  và bị chặn trên bởi x.
Theo tiên đề trên, b = sup E, tức là n.y  b  nN*.
Vì b – y < b và b là cận trên nhỏ nhất nên b – y không phải là cận trên của E, do đó tồn tại phần tử noy thuộc E sao cho b – y < noy. Tức là b < (no + 1)y, mâu thuẫn .
Vậy nguyên lý được chứng minh. 

1.2. Dãy số thực
Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1: Một dãy số thực (còn gọi là dãy số) là một ánh xạ từ N* vào R: N*  n  xn R.
Ký hiệu {xn}, n = 1, 2, ...
Ví dụ: {xn} = {1, 1/2, 1/3, ...}  {xn = 1/n}.
Lân cận: Với số thực hữu hạn a, các số dương  và M, ta gọi
 – lân cận của a, ký hiệu U(a), là tập
{x R: |x – a| < }.
 – lân cận trái của a, ký hiệu U(a – ), là tập
{x R: a –  < x < a}.
 – lân cận phải của a, ký hiệu U(a+), là tập
{x R: a < x < a + }.
M – lân cận của – , ký hiệu UM( – ), là tập
{x R : x < – M}.
M – lân cận của +, ký hiệu UM(+), là tập
{x R : x > M}.
Định nghĩa 1.2.2: Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới số hữu hạn a  R khi n dần ra vô cùng nếu:
>0, n0 N* : xn  U(a)n > n0.
Ta còn nói a là giới hạn của dãy xn và viết xn  a khi n  +, hoặc .
Ta nói dãy {xn}  + (hay – ) nếu:
K > 0, n0 = n0(K) >0 :  n > n0 thì xn UK(+)
(hay xn UK( – )).
Ta gọi dãy {xn} là phân kỳ nếu nó không hội tụ.
Định nghĩa 1.2.3.
Dãy {ym} nhận được từ dãy {xn} bằng cách bỏ đi hữu hạn hay vô hạn các phần tử mà vẫn giữ lại được vô hạn các phần tử được gọi là dãy con của dãy {xn}.
Định nghĩa 1.2.4.
Số hữu hạn a được gọi là giới hạn của dãy {xn} nếu nó là giới hạn của dãy con nào đấy của dãy {xn}.
Định nghĩa 1.2.5.
Dãy {xn} được gọi là đơn điệu tăng nếu xn  xn+1
Dãy {xn} được gọi là đơn điệu giảm nếu xn  xn+1 n.
Chú ý: Tổng hoặc tích của hai dãy đơn điệu tăng cũng là dãy đơn điệu tăng.
1.2.2. Một số tính chất:
Định lý 1.2.1 Giả sử x, y và z tương ứng là giới hạn của các dãy {xn}, {yn} và {zn}, còn a, b và c là các hằng số. Khi đó:
a.xn + b.yn + c  a.x + b.y + c
xn.yn  x.y
3) 1/yn  1/ y với y  0
4) xn/yn  x/y với y  0
Định lý 1.2.2: (so sánh)
1. Nếu xn  yn n >n0 N và xn a, yn b thì a  b.
2. Nếu xn  yn  zn n >n0 N và :
xn a
zn a
thì yn a
Định lý 1.2.3: Mọi dãy đơn điệu tăng (hay giảm) bị chặn trên (hay dưới) đều hội tụ.
Định lý 1.2.4: (Cantor): Cho hai dãy {an} và {bn} thoả mãn
n N, an  bn và [an+1, bn+1]  [an, bn]
(bn – an)  0 khi n  +.
Khi đó nN, ! c  [an, bn].
Định lý 1.2.5: Dãy {xn} hội tụ  {xn} giới nội và có duy nhất điểm giới hạn.
Định lý 1.2.6: Dãy {xn} hội tụ  mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung giới hạn.
Định lý 1.2.7: (Bolzano – Weierstrass): Từ một dãy giới nội, luôn trích ra được dãy con hội tụ.
Định nghĩa 1.2.4: Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu
>0, n0 N t/m khi m  n0 và n  n0 thì |xm – xn| < .
Định lý 1.2.8: (Cauchy): Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Côsi.
1.3. Định nghĩa hàm số một biến số thực
Cho các tập A, B  R. Một hàm f:AB là luật gán mỗi x trong A với duy nhất f(x) trong B.
Khi đó:
A được gọi là miền xác định của f, ký hiệu là Df. Tập {f(x) : x  A} được gọi là miền giá trị hoặc ảnh của A qua f , ký hiệu là Rf hoặc f(A).
Ta thường viết y = f(x) để biểu thị rõ luật gán xA với y  B.
Ta nói hàm f:AB là toàn ánh nếu f(A) = B, nghĩa là với mọi y  B có ít nhất một x  A sao cho f(x) = y.
Ta nói f là đơn ánh hoặc 1 – 1 trên A nếu với mọi x1, x2 thuộc A, nếu f(x1) = f(x2) thì x1 = x2.
Ta nói hàm f là song ánh nếu nó là 1 – 1 và toàn ánh.
Đồ thị của f là tập {(x, f(x)) : x  A}  R2
1.4. Các tính chất chẵn, lẻ, tuần hoàn và đơn điệu của hàm số: Hàm f được gọi là:
Chẵn nếu  x, f( – x) = f(x)
Lẻ nếu với mọi x, f( – x) = – f(x).
Tuần hoàn nếu tồn tại T > 0 sao cho f(x+T) = f(x)  x.
Khi đó số nhỏ nhất trong các số T đó được gọi là chu kỳ.
Tăng ngặt trên A nếu x < y thì f (x) < f (y)  x, y  A.
Giảm ngặt trên A nếu x < y thì f (x) > f (y)  x, y A.
Không giảm trên A nếu x < y thì f (x)  f (y)  x, y  A.
Không tăng trên A nếu x < y thì f (x)  f (y)  x, y  A.
1.5. Hàm hợp
Cho A, B và C là các tập trong R cùng các hàm f: A B và g: BC. Khi đó hàm h: AC được xác định bởi h(x) = g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g với f và được ký hiệu là gof.
Ta viết h(x) = (gof)(x) hay h = gof.
Ví dụ : f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x + 2,
thì (gof)(x) = 2(x2 + 1) + 2 = 2x2 + 4.
1.6. Hàm ngược
Cho A  R và hàm f: A R.
Đặt B = f (A) = {f (x) : x  A}.
Hàm g:B  A được gọi là hàm ngược của f nếu
g(f(x)) = x  x  A, ký hiệu là f – 1.
Ký hiệu: y = f – 1(x).
Đồ thị của các hàm f và f – 1 đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Dễ thấy rằng, f – 1 tồn tại nếu và chỉ nếu f:AB là song ánh.
2.1.1. Giới hạn của hàm số khi x dần đến +
Cho f(x) xác định trong khoảng [a, +) và số hữu hạn L.
Định nghĩa 2.1.1: Ta nói hàm f(x) có giới hạn là L khi
x  + nếu > 0, A = A() > 0 :  xUA(+)  f(x)U(L).
x  –  nếu  > 0, A = A() > 0 :  xUA( – ) thì f(x)U(L).
Định nghĩa 2.1.2: Ta nói hàm f(x) có giới hạn là + khi
x  + nếuM>0, A = A(M) > 0 :  xUA(+) f(x) UM(+)
x  –  nếu M>0, A = A(M) > 0 :  xUA( – )  f(x)UM(+).
2.1. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa 2.1.3: Ta nói hàm f(x) có giới hạn là –  khi
x  + nếuM>0, A = A(M) > 0 :  xU (+) f(x) UM( – )
x  –  nếu M>0, A = A(M) > 0 :  xUA( – )  f(x)UM( – ).
Ta có thể viết f(x)  L khi x  +, hoặc dùng ký hiệu

Định lý 2.1.1:
với mọi dãy {xn} có
giới hạn là +.
2.1.2. Giới hạn của hàm số khi x dần đến a (hữu hạn)
Cho các số thực hữu hạn L và a.
Giới hạn một phía (one – sided limit)
Định nghĩa 2.1.4:
Ta nói f(x) có giới hạn là + khi x  a
từ bên trái nếu M>0,  = (M) > 0 : x U(a – )  f(x)UM(+) ( = +)
từ bên phải nếu M>0,  = (M) > 0 : x U(a+)  f(x)UM(+) ( = +)
Định nghĩa 2.1.5:
Ta nói f(x) có giới hạn là –  khi x  a
từ bên trái nếu M>0,  = (M) > 0 : x U(a – )  f(x)UM( – ) ( = – )
từ bên phải nếu M>0,  = (M) > 0 : x U(a+)  f(x)UM( – ) ( = – )
Định nghĩa 2.1.6: Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần đến a từ bên trái (từ bên phải), nếu
>0,  = () > 0 :xU(a – ) (xU(a+))  f(x) U(L).
2.1.3. Giới hạn hai phía
Định nghĩa 2.1.7: Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a, ký hiệu , nếu cả hai
f(a – 0) và f(a+0) đều tồn tại và bằng L.
Tức là  >0, = () > 0 :x U(a)  f(x) U(L).
Định lý 2.1.2: với mọi dãy {xn}  a.
Ký hiệu lim thay thế cho một trong các .


Định lý 2.2.1: (Tính chất đại số của giới hạn)
Giả sử lim f (x) = F, limg(x) = G. Khi đó
lim [f (x) + g(x)] = F+G
lim [f (x)g(x)] = F.G
R, lim[f(x)] = F
Nếu G  0, thì lim [1/g(x)] = 1/G
Định lý 2.2.2. Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) x  (α; β) và
Định lý 2.2.3: Nếu hàm đơn điệu tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì tồn tại giới hạn khi x dần đến + (dần đến – ).
2.3. Vô cùng bé và vô cùng lớn
Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé, ký hiệu VCB, trong quá trình x  x0 nếu
Hàm f(x) được gọi là vô cùng lớn, ký hiệu VCL, trong quá trình x x0 nếu
Ở đây, x0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
Cho f(x) và g(x) là các VCB trong cùng một quá trình x x0. Ta nói :
f(x) có bậc cao hơn, hay g(x) có bậc thấp hơn, nếu
và viết f(x) = o(g(x)), x x0
Nếu
(hữu hạn và khác không) thì ta nói f(x) và g(x) cùng cấp.
Nếu
thì ta nói f(x) và g(x) là các VCB tương đương.
ký hiệu f(x) ~ g(x), x x0.
Định lý 2.3.1. Nếu f1(x), g1(x), f2(x), g2(x) là những VCB khi x → x0 và f1(x) ~ f2(x); g1(x) ~ g2(x) thì
2.4. Sự liên tục của hàm số một biến
Giả sử f(x) xác định trong khoảng (a, b) và x0 (a, b).
Định nghĩa 2.4.1: Hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu

Định lý 2.4.1: Hàm f(x) liên tục tại x0   > 0,
(, x0) > 0 : x U(x0)  f(x) U(f(x0).
Định nghĩa 2.4.2: Hàm f(x) được gọi là liên tục trong khoảng mở (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x(a, b).
Định nghĩa 2.4.3: Hàm f(x) được gọi là
liên tục trái tại x0 nếu
liên tục phải tại x0 nếu

Định nghĩa 2.4.4: Hàm f(x) được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a, b] nếu nó liên tục trong khoảng mở (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.
2.5. Điểm gián đoạn của hàm số
Ta nói f(x) gián đoạn tại x0, hay x0 là điểm gián đoạn của f(x), nếu nó không liên tục tại x0.
Ví dụ, x = a là điểm gián đoạn của hàm f(x) = 1/(x – a).
Giả sử x0 là điểm gián đoạn của f(x). Khi đó:
Ta nói :
x0 là điểm gián đoạn bỏ được nếu f(x – 0) = f(x + 0).
x0 là điểm gián đoạn loại 1 nếu f(x – 0)  f(x + 0).
x0 là điểm gián đoạn loại 2 nếu nó không thuộc một trong hai dạng trên.
2.6. Các tính chất của hàm số liên tục
Ký hiệu C(a, b) là tập tất cả các hàm f(x) liên tục trong (a, b).
Định lý 2.6.1: Nếu f(x) và g(x) thuộc C(a, b) thì các hàm f+g, f – g, f.g cũng thuộc C(a, b) và hàm f/g cũng thuộc C(a, b){x: g(x) = 0}.
Từ đó suy ra, các hàm sơ cấp đều liên tục trong miền xác định của nó.
Định lý 2.6.2: Cho f: X  Y, g: Y  Z.
Nếu f(x) liên tục tại x0  X, g(y) liên tục tại y0 = f(x0)Y thì hàm hợp gof liên tục tại x0.
Định lý 2.6.3: (Định lý về giá trị trung gian )
Giả sử f(x)  C[a, b]. Nếu f (a) <  < f (b) hoặc f (b) <  < f (a) thì tồn tại c (a, b) sao cho f(c) = .
Hệ quả: Giả sử f(x)  C[a, b]. Nếu f (a).f(b) < 0 thì tồn tại c để f(c) = 0.
Định lý 2.6.4: Hàm f(x) liên tục trên đoạn đóng giới nội [a, b] thì giới nội, hơn nữa, nó luôn đạt cận trên đúng và cận dưới đúng (nói cách khác là luôn đạt các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất).
Định lý 2.6.5: Giả sử f(x) là đơn ánh, liên tục trên (a, b) và (u, v)  (a, b). Nếu f(u) < f(v) (hoặc f(u > f(v)) thì f(u) f(w) > f(v)) với mọi w(u, v).
Định lý 2.6.6: Giả sử f(x)  C(a, b). f : Df Rf là song ánh  f đơn điệu ngặt. Khi đó, ánh xạ ngược f – 1 cũng liên tục và đơn điệu ngặt.
Định nghĩa 2.6.1: Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trong (a, b) nếu : > 0, () > 0 : u, v (a, b), nếu |x – x0| <  thì |f(u) – f(v)| < .
Định lý 2.6.7: (Heine): Hàm số liên tục trong khoảng đóng thì liên tục đều trong khoảng đó.
Chương 3: Đạo hàm và vi phân của hàm số
một biến số
3.1. Đạo hàm
3.1. Đạo hàm
3.2. Vi phân
3.3. Đạo hàm một phía đạo hàm vô cùng
3.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao
3.5. Các định lý về giá trị trung bình
3.6. Ứng dụng của các định lý về giá trị trung bình
Biểu diễn dưới dạng vô cùng bé, ta có
f(c + x) – f(c) = f`(c).x + o(x),
với o(x)–VCB bậc cao hơn x.
Ví dụ:
Ví dụ: Tìm vi phân của
1. f(x) = xm theo biến x
2. h(u) = esinu , theo biến u
3. h(u) = esinu , u = arcsiny theo biến y
4. h(u) = e sinu, u = arcsiny, y = m.lnx theo biến x.
Ý nghĩa: tồn tại điểm c để tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại đó song song với trục hoành.