Giai tich 1

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục


Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
[email protected]
Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân.
Mục tiêu của môn học Toán 1
Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể.
Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật.
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đánh giá, kiểm tra.
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,… Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005
2. Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1.
4. James Stewart. Calculus, fifth edition, 2005.
5. www.tanbachkhoa.edu.vn
3. Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Giới hạn của dãy số thực
0.2 – Giới hạn của hàm số
0.3 – Liên tục của hàm số
Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng.
Nguyên lý supremum.
Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng.
Giá trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A được gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA, (supremum của A)
Định nghĩa
Giá trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp A được gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA, (infimum của A)
I. Giới hạn của dãy số thực
------------------------------------------------------------
Ví dụ:
Ghi ở dạng tường minh, ta có
Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi là dãy hội tụ.
Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ.
(theo định nghĩa)
Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ.
Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng này. Vậy không tồn tại giới hạn.
Mâu thuẫn.
Tính chất của giới hạn
Ta có
Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn.
Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Ta có
Chứng tỏ
Ví dụ.
Sử dụng TH1,
Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Mệnh đề 4 (định lý Weierstrass)
Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Theo nguyên lý Supremum, có supS = a.
Chứng tỏ dãy truy hồi
Ví dụ.
là dãy tăng và bị chặn trên.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
Vậy dãy bị chặn trên.
Vậy dãy tăng.
Chứng tỏ dãy
Ví dụ.
là dãy giảm và bị chặn dưới.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
Vậy dãy bị chặn dưới.
Vậy dãy giảm.
Định nghĩa (dãy con)
kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải.
Một dãy con là:
Khi đó
Chú ý
Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k
Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau
Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1
Vậy dãy đã cho không có giới hạn.
Số e
Sử dụng nhị thức Newton:
Vậy dãy tăng.
Số e
Vậy dãy bị chặn ( và tăng), nên dãy hội tụ.
Một số giới hạn cơ bản
Qui tắc:
Ví dụ.
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy:
1) Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử dụng các đẳng thức quen biết, …)
2) Dùng định lý kẹp
3) Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn điệu và bị chặn.
4) Dùng giới hạn của số e.
5) Dùng dãy con để chứng minh không tồn tại.
6) Dùng tích phân xác định.
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
HD. Nhân lượng liên hiệp
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
HD. Sử dụng định lý kẹp
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
HD. Phân tích, biến đổi số mũ.
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
HD. Dùng định lý kẹp.
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
HD. Sử dụng giới hạn của dãy số e.
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
HD. Tìm hai dãy con
Bài tập.
I) Tìm các giới hạn sau:
II) Cho Tìm
III) Tìm
IV) Tìm
IV) Chứng tỏ rằng các dãy sau đây có giới hạn và tìm các giới hạn này