Giai phuong trinh luong giac

Phương trình lượng giác
Các phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình cơ bản
Phương trình (1)
Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm
Nếu gọi là một nghiệm của (1), tức khi đó ta có


Ví dụ 1: Giải các phương trình sau


Phương trình (2)
Nếu thì phương trình (2) vô nghiệm
Nếu gọi là một nghiệm của (2), tức khi đó ta có


Ví dụ 2: Giải các phương trình sau


Phương trình (3)
Điều kiện
Gọi là một nghiệm của (3), khi đó ta có


Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:


Phương trình (4)
Điều kiện
Gọi là một nghiệm của (4), khi đó ta có


Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:



Phuơng trình (5)
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho ta có phương trình (5) tương đương với phương trình


Chọn α sao cho khi đó ta có phương trình:


Với . Tới đây ta giải như phương trình (1).
Cách 2: Đặt khi đó
Khi đó phương trình (5) được đưa về phương trình bậc hai theo t, giải ra t và suy ra nghiệm của (5)
Phương trình thuần nhất bậc hai: (6)

Cách 1: Áp dụng công thức hạ bậc
và ta đưa có phương trình:


Phương trình này đã biết cách giải ở phần trên
Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp
Trường hợp 1: có là nghiệm của phương trình không?
Trường hợp 2: Chia hai vế của phương trình cho khi đó phương trình trở thành:




Phương trình trên là phương trình bậc hai theo ta có thể giải được.
Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:







Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau:





Bài 3. Tìm để các phương trình sau có nghiệm



Bài 4. Cho phương trình
Tìm để phương trình có nghiệm
Tìm để phương trình có nghiệm thuộc
Bài 5. Giải các phương trình lượng giác sau:




Bài 6. Định để các phương trình sau có nghiệm


Các phương pháp giải và các dạng phương trình lượng giác thường gặp
Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản
Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Trong phương pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản đã biết cách giải (1) – (6). Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,…. Sau đây là một vài ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau
(1)
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với













Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau:
(2) (Khối B – 2009)
Lời giải. Ta có phương trình đã cho tương đương với









Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau:
(ĐHSP HCM B, D 2001)






(CĐ Hải Quan 1998)


(D, 2009)
Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo một hàm lượng giác nào đó,… Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất.
Dạng 1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác
Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác, sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung),
Ví dụ 3: Giải phương trình (3)
Lời giải. Đặt khi đó ta có phương trình trở thành


Với
Ví dụ 4. Giải phương trình