Giải giúp bài hình của Ngô Bảo Trân

Bài hình của Ngô Bảo Trân
Đề bài:Cho nội tiếp trong đường tròn tâm (O) ,đường kính BC có đường cao AH (H thuộc BC) .Gọi (K) và (L) lần lượt các đường tròn nội tiếp của và .Cho KL cắt AB và AC lần lượt tại F và E
1/Chứng minh:A là tâm đường tròn ngoại tiếp
2/Chứng minh:HK.HL=BF.CE
3/Lấy lượt lấy các điểm M và N trên (O) khác B và C sao cho BM tiếp xúc với (L) ,CN tiếp xúc với (K) .Chứng minh:MN vuông góc với OA
Hướng dẫn giải


a/Ta có:góc ABH=2 góc KBH ,góc HAC=2 góc HAL .Mà góc ABH=góc HAC
=>góc KBH=góc HAL ,mà dễ thấy góc BHK=góc AHL=45*
(g-g) .Từ đó chứng tỏ được:
(c-g-c) .Mà dễ chứng minhnên ta có:

Ta có: =>góc ABH=góc HKL=>Tứ giác BFKH nội tiếp.Tương tự ,ta có tứ giác HLEC nội tiếp
Chứng minh được:góc AFK=góc BHK =góc AHK ,Lại có góc BAK=góc HAK=>góc AKB=góc AKH(g-c-g)=>AF=AH
Chứng minh tương tự:AH=AE.Vậy A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF
b/Cho EF cắt BC tại T .Kẻ HD vuông góc với AB tại D
Từ HD//AC và tam giác AFH cân tại A cho:
Góc BHF =90* - góc AHF = 90* - góc AFH = góc DHF
Góc BHF=góc DHF=>Góc BHD=2 góc BHF ,mà góc ACH=2 góc HCL , góc BHD=góc ACH (do HD//AC) =>góc BHF= góc HCL
Mà góc HCL =góc HEL=>góc BHF=góc HEL.Từ đó chứng tỏ được:
(g-g)
Ta có:Tứ giác BFKH nội tiếp nên chứng tỏ được:
(g-g)
Chứng minh tương tự ta có(g-g)
Từ đó tuy ra=>HL.HK=BF.EC
c/Cho BM cắt AC tại J,NC cắt AB tại I .Để chứng minh MN_|_OA .Ta cần chứng minh: góc ABJ =góc ACI =>góc AJB = góc AIC
Vậy ta cần chứng minh : góc AJB = góc AIC
Theo như câu b ta có :góc BHF=góc HCL ,mà góc BHF=góc BKF
=> góc BKF=góc HCL =>Tứ giác BKLC nội tiếp =>góc BKC=góc BLC
Cho BM tiếp xúc với đường tròn (L) tại V ,BC tiếp xúc (L) tại G
Dễ thấy BL là tia phân giác góc VBG
Ta có:góc AJB =góc JBC+góc ACB =2 góc LBC+2 góc LCB =2(góc LBC+ góc LCB)
=2(180* - góc BLC)
Chứng minh tương tự ta có :góc AIC = 2 (180* - góc BKC) .Mà góc BLC=góc BKC
Từ đó suy ra góc AIC= góc AJB .Đến đây chứng tỏ được :MN_|_OA