Giải gần đúng PTVP thường

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------
PHƯƠNG PHÁP TÍNH ? SV
CHƯƠNG 5
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)
NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU)
B- BÀI TOÁN BIÊN
1 ? PHƯƠNG PHÁP EULER
1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
2 ? EULER CẢI TIẾN + RUNGE ? KUTTA
3 ? HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
4 ? PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
BÀI TOÁN CÔSI ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầu
Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b ? a)/n, (n + 1) điểm chia t0 = a < t1 = a + h < ? < tn = b
MINH HOẠ Ý TƯỞNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chia [a, b] ? n đoạn
Tính wi, i = 0 ? n
Sơ đồ Euler (i = 0 ? n ? 1)
S/đ Euler cải tiến (i = 0 ? n ? 1)
Sơ đồ Runge ? Kutta: w0 = ?. Giả sử biết wi ?
Btoán Côsi: Tìm y(t)
VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sơ đồ Euler:
Giải: f(t,y) = y ? t2 + 1
h = (b?a)/n = 1/3
KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bảng kết quả:
Tính gần đúng tích phân với công thức hình thang
VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.75
1.0
1.375
1.0625
2.515625
1.21875
VÍ DỤ RUNGE ? KUTTA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chia [a, b] thành đoạn bằng nhau: Phân hoạch & rời rạc hoá
MINH HOẠ Ý TƯỞNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Xét bài toán Côsi với hệ phương trình vi phân thường:
Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u1, u2 tại t = 0.5; 1
So sánh giá trị tính được với giá trị nghiệm chính xác:
SƠ ĐỒ EULER ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
S/đồ Euler:
VD:
ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán Côsi cấp 2 (Ph/trình vi phân cấp 2 và đkiện đầu):
VÍ DỤ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đổi biến đưa về bài toán Côsi cấp 1: u1 = y(t), u2 = y?(t) ?
BÀI TOÁN BIÊN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán biên cấp 2: Tìm hàm y = y(x) thoả phương trình
MINH HOẠ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CÔNG THỨC LẮP GHÉP -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
n mốc xk ? (a, b) ? ứng n giá trị yk chưa biết ? Ma trận cấp n
Ký hiệu pk = p(xk) ? yk = y(xk), 1 ? k ? n ? y= [y1, ? yn]T: Ay = b
LẬP BẢNG LẮP GHÉP -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chia [a, b] thành các đoạn nhỏ độ dài h. n điểm chia xk (không kể 2 đầu) ? ứng với yk chưa biết ? n ẩn số yk
Lập bảng cột xk ? pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk) ? akk (đ/chéo chính), ak,k+1 (chéo trên), ak-1,k (dưới), bk ? Nghiệm yk
Đ/chéo akk: k = 1 ? n; ak,k+1: k = 1 ? (n ? 1), ak-1,k: k = 2 ? n
VÍ DỤ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
h = 0.2 ? n = 5 ? 6 điểm chia ? Hệ phương trình 4 ẩn
Ma trận cấp 4: Chéo chính akk ? 4 phần tử; Chéo trên ak, k+1: 3
KẾT QUẢ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải hệ bằng phép khử Gauss (làm tròn 3 chữ số lẻ):