Giải bài toán tính diện tích

Giải bài toán liên quan tính diện tích
I .- Giới thiệu:
Chương tình toán Tiểu học chưa hoc công thức tính diện tich các hinh đa giác, tứ giác (H. thang, bình hành, H thoi.....), nhưng dựa vào công thức tính diện tich tam giác (TG) học sinh có thể giải nhiều đề liên quan diện tich và các dữ kiện như chiều cao (C.cao), cạnh đáy (C.đáy). Điều đó HS THCS lại không làm được.
NST nêu ra một số bài toán dạng này để GV/HS tham khảo
II.- Các căn cứ lý thuyết
1. Nếu hình (H) là hình đa giác không thể tính được trực tiếp diện tích thì có thể tính diện tích S(H) theo các cách sau : - Chia hình (H) thành các hình tam giác dễ tính dt hơn, tính dt các hình TG đó rồi cộng lại. - Bổ sung vào hình (H) một số đường để được các hình (H1, H2, H3...) dễ tính dt hơn. 2. Nếu hai tam giác (P) và (Q) có : - Chung C.đáy hoặc hai C.đáy bằng nhau và c.cao (P) = k x C.cao (Q)
thì S(P) = k x S(Q). - Chung C.đáy hoặc hai C.đáy bằng nhau và S(P) = k x S(Q) thì C.cao (P) = k x C.cao (Q). - Chung C.cao hoặc hai C.cao bằng nhau và C.đáy (P) = k x C.đáy (Q) thì S(P) = k x S(Q). - Chung C.cao hoặc hai C.cao bằng nhau và S(P) = k x S(Q) thì C.đáy (P) = k x C.đáy (Q). *Các tính chất trên đều có thể áp dụng chiều ngược lại
III.- Bài toán mẫu Bài 1 :
Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của AB và CD. Nối DM, BN cắt AC tại I và K. Chứng tỏ rằng AI = IK = KC.
Giải : (Bài này vận dụng mối quan hệ giữa diện tích, c.đáy và c.cao của tam giác) Ta có :

ABC = 2 x
AMD (vì AB = 2 x AM và AD = BC) ;

DCM =
ABC (vì AB = DC và c.cao cùng bằng BC)
Suy ra
DCM = 2 x
AMD.
Kẻ CH và AE lần lượt là chiều cao của
DCM và
DAM hạ xuống đáy DM,
Do đó CH = 2 x AE.
Đồng thời CH và AE lần lượt là chiều cao của
ICM và
IAM có chung cạnh đáy IM. Có
ICM = 2 x
IAM. Mà
IAM và
ICM chung chiều cao từ M,
Do đó IC = 2 x AI, ==> AC = 3 x AI hay AI = 1/3 AC.
Tương tự với các cặp
ABN và
CBN ;
KCN và
KAN ta có
KC = 1/3 AC. ==> AI = KC = 1/3 AC, ==> IK = 1/3 AC. Do đó AI = IK = KC (DPCM).
Bài 2
Cho
ABC, gọi các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho :
AB = 3 x AM, AC = 3 x AN.
Gọi I là điểm chính giữa của cạnh BC. a) Chứng tỏ rằng tứ giác BMNC là hình thang và BC = 3 x MN. b) Chứng tỏ rằng các đoạn thẳng BN, CM, AI cùng cắt nhau tại một điểm.

Giải :
a) Vì AB = 3 x AM, AC = 3 x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC. ==>
(MBC) = 2/3 x
(ABC) (chung chiều cao từ C)
(NCB) = 2/3 x
(ABC) (chung chiều cao từ B) Vậy
(MBC) =
dt (NCB) mà
MBC và
NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M bằng chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC.
Do đó BMNC là hình thang. Do MB = 2/3 x AB, nên
(MBN) = 2/3 x
(ABN) (chung chiều cao từ N)
hay
(ABN) = 2/3 x
(MBN).
Mặt khác AC = 3 x AN, ==> NC = 2 x AN, ==>
(NBC) = 2 x