Giải Bài tập Toán A2 IUH - ĐH Công nghiệp TP. HCM

GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH
CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Phần 1: Tóm tắt lý thuyết – công thức
A. MA TRẬN
1. Định nghĩa
Cho m và n là hai số nguyên dương một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm m x n số được xếp thành m hàng và n cột. Kí hiệu: A=[aij]mxn
2. Các phép toán trên ma trận
2.1.Các phép toán
Cho 3 ma trận A,B,C thuộc Mmxn ta có
Hai ma trận bằng nhau: A=B nếu (A)ij=(B)ij, i =
,j=

Phép nhân một số với ma trận: (KA)ij =k(A)ij, i =
,j=
,k
R
Phép cộng ma trận:(A+B)ij=(A)ij+(B)ij, i =
,j=

Hiệu hai ma trận: A – B=A+(-B)
Phép nhân hai ma trận:(AB)ij=
, i =
,j=

2.2. Tính chất
Tương tự như trong các phép tính đại số ma trận cũng có các tính chất như giao hoán,kết hợp …
2.3. Phép chuyển vị ma trận
AT là ma trận chuyển vị của ma trận A nhận được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột.
(AT)ij=(A)ji , i =
,j=

Tính chất:
(A+B)T=AT+BT
(aA)T=aAT
(AT)T=A
(AB)T=BTAT
*Tổng quát:
(A1,A2,…An)T=AnT…A2TA1T Lũy thừa của ma trận:AP=AP-1A
2.4.Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang
2.4.1.Ma trận bậc thang
Là ma trận có tính chất sau:
Các hàng khác không đều ở trên hàng bằng không
Phần tử cơ sở của một hàng nằm ở cột bên phải so với phần tử cơ sở của hàng trên (phần tử cơ sở của hàng là phần tử khác không dầu tiên từ bên trái qua)
2.4.2. Các phép biến đổi sơ cấp
Mọi ma trận đều đưa về được dạng ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng như sau:
Nhân các phần tử của một hàng với một số khác không:hi(

Cộng vào các phần tử của hàng các phần tử tương ứng của hàng khác đã nhân với một số hi
.
Đổi chỗ hai hàng cho nhau:hi
hj.
Các hàng tỉ lệ với nhau hay giống nhau thì có thể bỏ đi chỉ trừ lại một hàng
* Chú ý: Nếu các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên cột thì gọi là phép biến đổi sơ cấp đối với cột.
B. ĐỊNH THỨC
1.Định nghĩa
Cho ma trận vuông cấp n:A=[aij]mxn. Định thức A kí hiệu là detA hay
là một số thực được xác định như sau:

2. Tính chất
* Tính chất 1:detA =detAT
* Tính chất 2: Nếu A có một hàng các phần tử đều bằng 0 thì detA =0.
* Tính chất 3:Nếu đỏi chỗ hai hàng cho nhau thì detA đổi dấu.
* Tính chất 4: Nếu A có hai hàng giống nhau thì detA =0.
* Tính chất 5: Nếu nhân mọi phần tử trong một hàng của A với một số khác 0 thì detA cũng được nhân lên với số đó.
* Tính chất 6: Nếu A có hai hàng tỉ lệ thì detA =0.
* Tính chất 7: Nếu mọi phần tử trong hàng của A có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể tách thành tổng hai định thức.
* Tính chất 8: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A bội của dòng khác thì định thức không thay đổi.
* Tính chất 9: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A tổ hợp tuyến tính của của các dòng còn lại thì detA không đổi.
3. Một số phương pháp tính định thức
3.1. Phương pháp khai triển theo một hàng hay một cột
Cho A =(aij)n,A bỏ đi hàng i cột j phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp n-1 định thức đó được gọi là định thức con bù của aij kí hiệu là
:Aij=(-1)i+j(ij gọi là phần bù đại số của aij.
3.2. Phương pháp Gauss
Sử dụng phép biến đổi trên hàng để đưa định thức về dạng tam giác khi đó định thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
3.3. Khai triển Laplace
Mở rộng công thức khai triển theo một hàng hay một cột thành công thức khai triển trên k hàng k cột.