Giải vài bài hình học khó lớp 9
Chia sẻ bởi Nguyễn Khánh Ninh |
Ngày 18/10/2018 |
33
Chia sẻ tài liệu: giải vài bài hình học khó lớp 9 thuộc Hình học 9
Nội dung tài liệu:
Gỉai một số bài hình học nâng cao lớp 9
Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB Lời giải
Ta cần có 1 bài toán phụ : Bài toán : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( ABChứng minh bài toán phụ : AH cắt BC tại I
Ta có : D và E cùng thuộc nửa đường tròn đường kính BC
BDC =BEC = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
BE_|_AC và CD_|_ AB
Dẫn đến BE và CD là 2 đường cao của tam giác ABC , mà chúng cắt nhau tại H => H là trực tâm của tam giác ABC => AH_|_BC hay AI_|_BC
Xét tam giác GDB và GCE , ta có :
EGC là góc chung , GDB = GCE ( góc ngoài bẳng góc đối trong do tứ giác BDEC nội tiếp )
=> tam giác GDB~ tam giác GCE (g-g) => GD = GC => GB.GC= GD.GE
GB GE
Xét tứ giác IHEC , ta có :
BEC= 90 ( cmt) , AIB= 90 ( AI_|_BC)
BEC=AIB=90 => Tứ giác IHEC nội tiếp ( gócn goài bằng góc đối trong )
IEB = BCD ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung IH )
Mà BCD = BED ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD )
IEB= BED => BE là tia phân giác của DEI => DEI = 2 BED (1)
Ta có : BED = BDC ( cmt) (2)
Xét tam giác DOC , ta có : OD=OC(=R) => tam giác DOC cân tại O => BCD = ODC
Ta có : BOD = BCD+ ODC = 2 BCD( góc ngoài của tam giác ) (3)
(1),(2),(3)=> DEI = BOD => tứ giác DIOE nội tiếp ( cùng thuộc 1 cung chứa góc ) => GOE = GDI ( góc ngoài bẳng góc đối trong )
Xét tam giác GDI và tam giác GOE , ta có :
OGE là góc chung , GOE = GDI (cmt)
=> tam giác GDI ~ tam giác GOE ( g-g) => GD = GO => GD.GE=GI.GO
GI GE
Mà ta đã có : GD.GE=GB.GC => GI.GO = GB.GC => GB = GO
GI GC
Ta có : BF//AI ( cùng vuông góc với BC ) nên GB = GF (Đ ịnh lý ta lét )
GI GA
=>GO = GF => OF//AC ( định lý ta lét đảo )
GC GA
Mà AC_|_BE nên OF_|_BE
Xét tam giác BOE cân tại O ( OB=OE=R) có OF là đường cao ( OF_|_BE) nên OF đồng thời là tia phân giác của BOE => BOF = EOF
Xét tam gíac BOF và tam giác EOF
Ta có : OB=OE=R , BOF=EOF (cmt) , OF là cạnh chung
tam giác BOF= Tam giác EOF => OBF = OEF
mà OBF= 90 ( BF à tiếp tuyến của O ) => OEF=90 => OE_|_EF
Ta có E thuộc O => dẫn đến EF là tiếp tuyến của (O)
Dẫn đến AG đi qua giao điểm các tiếp tuyến tại B và E của (O)
3 đường thẳng AF , DE,BC đồng quy tại 1 điểm G
Trở lại bài toán cần chứng minh :
Theo như bổ đề trên Ta có 3 đường thẳng AM ,DE ,BC đồng quy tại 1 điểm .Gỉa sử chỗ đồng quy tại điểm S , BE cắt CD tại H , AH cắt BC tại K
Dễ thấy H là trực tâm tam giác ABC=> AK_|_BC
Dựng đường tròn tâm J ngoại tiếp tam giác ABC cắt AS tại G , Vẽ đường kính AL của đường tròn tâm J
Xét tam giác SBG và tam giác SCA
Ta có : CSA là góc chung , SGB = SCA ( góc ngoài bằng góc đối trong do tứ giác AGBC nội tiếp )
tam gíac SGB ~ tam giác SCA ( g-g) => SG = SC => SB.SC=SG.SA
SB SA
Theo như bài toán phụ trên ,ta dễ dàng chứng minh được SD.SE= SB.SC
Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB
Ta cần có 1 bài toán phụ : Bài toán : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB
Ta có : D và E cùng thuộc nửa đường tròn đường kính BC
BDC =BEC = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
BE_|_AC và CD_|_ AB
Dẫn đến BE và CD là 2 đường cao của tam giác ABC , mà chúng cắt nhau tại H => H là trực tâm của tam giác ABC => AH_|_BC hay AI_|_BC
Xét tam giác GDB và GCE , ta có :
EGC là góc chung , GDB = GCE ( góc ngoài bẳng góc đối trong do tứ giác BDEC nội tiếp )
=> tam giác GDB~ tam giác GCE (g-g) => GD = GC => GB.GC= GD.GE
GB GE
Xét tứ giác IHEC , ta có :
BEC= 90 ( cmt) , AIB= 90 ( AI_|_BC)
BEC=AIB=90 => Tứ giác IHEC nội tiếp ( gócn goài bằng góc đối trong )
IEB = BCD ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung IH )
Mà BCD = BED ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD )
IEB= BED => BE là tia phân giác của DEI => DEI = 2 BED (1)
Ta có : BED = BDC ( cmt) (2)
Xét tam giác DOC , ta có : OD=OC(=R) => tam giác DOC cân tại O => BCD = ODC
Ta có : BOD = BCD+ ODC = 2 BCD( góc ngoài của tam giác ) (3)
(1),(2),(3)=> DEI = BOD => tứ giác DIOE nội tiếp ( cùng thuộc 1 cung chứa góc ) => GOE = GDI ( góc ngoài bẳng góc đối trong )
Xét tam giác GDI và tam giác GOE , ta có :
OGE là góc chung , GOE = GDI (cmt)
=> tam giác GDI ~ tam giác GOE ( g-g) => GD = GO => GD.GE=GI.GO
GI GE
Mà ta đã có : GD.GE=GB.GC => GI.GO = GB.GC => GB = GO
GI GC
Ta có : BF//AI ( cùng vuông góc với BC ) nên GB = GF (Đ ịnh lý ta lét )
GI GA
=>GO = GF => OF//AC ( định lý ta lét đảo )
GC GA
Mà AC_|_BE nên OF_|_BE
Xét tam giác BOE cân tại O ( OB=OE=R) có OF là đường cao ( OF_|_BE) nên OF đồng thời là tia phân giác của BOE => BOF = EOF
Xét tam gíac BOF và tam giác EOF
Ta có : OB=OE=R , BOF=EOF (cmt) , OF là cạnh chung
tam giác BOF= Tam giác EOF => OBF = OEF
mà OBF= 90 ( BF à tiếp tuyến của O ) => OEF=90 => OE_|_EF
Ta có E thuộc O => dẫn đến EF là tiếp tuyến của (O)
Dẫn đến AG đi qua giao điểm các tiếp tuyến tại B và E của (O)
3 đường thẳng AF , DE,BC đồng quy tại 1 điểm G
Trở lại bài toán cần chứng minh :
Theo như bổ đề trên Ta có 3 đường thẳng AM ,DE ,BC đồng quy tại 1 điểm .Gỉa sử chỗ đồng quy tại điểm S , BE cắt CD tại H , AH cắt BC tại K
Dễ thấy H là trực tâm tam giác ABC=> AK_|_BC
Dựng đường tròn tâm J ngoại tiếp tam giác ABC cắt AS tại G , Vẽ đường kính AL của đường tròn tâm J
Xét tam giác SBG và tam giác SCA
Ta có : CSA là góc chung , SGB = SCA ( góc ngoài bằng góc đối trong do tứ giác AGBC nội tiếp )
tam gíac SGB ~ tam giác SCA ( g-g) => SG = SC => SB.SC=SG.SA
SB SA
Theo như bài toán phụ trên ,ta dễ dàng chứng minh được SD.SE= SB.SC
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Nguyễn Khánh Ninh
Dung lượng: |
Lượt tài: 1
Loại file:
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)