G.A đại số đại cương

CHƯƠNG 1
NỬA NHÓM VÀ NHÓM


1. NỬA NHÓM
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Sinh viên nắm được khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhận biết các khái niệm trên trong các trường hợp cụ thể.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập .

1.1.Phép toán hai ngôi:
Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thường. Ta thấy: ( a, b ( N luôn có: a+b = c ( N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ được không? Hãy lập ánh xạ đó. ( +: NxN ( N
(a,b) ( c )
2.Cũng hỏi như trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân trong N ?
T: NxN ( N
(a,b) ( c= ab )
các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi.
Định nghĩa 1: SGK(37)
Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếu không có lý do nào khiến ta phải viết khác.
Định nghĩa 2: sgk(38)
A ( X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. ( ( x,y ( A ( xy ( A . (Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinh trên A )
Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ?
Định nghĩa 3: Tr 38.
Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính là một trong hai phần tử đó ?
+: NxN ( N . : NxN ( N T: NxN ( N
(a,o ) ( a (a , 1) ( a (a , 1)( a1=a
Định nghĩa 4: tr 39
Hãy cho nhận xét trong các phép toán nêu trên cái nào có phần tử đơn vị trái, phải? Một phép toán vừa có đơn vị trái, vừa có đơn vị phải thì phần tử đơn vị trái và đơn vị phải có quan hệ gì với nhau? Hãy chứng minh? ( tr 39).
Định lý1: tr39.
Hệ quả: tr39.
1.2.Nửa nhóm:
Định nghĩa 5: tr39
Hãy chỉ ra trong các ví dụ trên tập N với các phép toán nào là một nửa nhóm ? ( trừ phép mũ hoá- phép toán trừ ).
( Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên A là một nửa nhóm. Gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X.
Trong một nửa nhóm X:
Ta viết: (xy)z = x(yz) = xyz giọ là tích của 3 phần tử lấy theo thứ tự đó.
Tổng quát : x1x2…..xn-1xn = (x1x2…..xn-1)xn gọi là tích của n phần tử lấy theo thứ tự đó.
Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40.
Định nghĩa 6: X là nửa nhóm:
n ( N, n ( 0 ( a ( X ; an gọi là tích của n phần tử bằng a.
Do tính kết hợp ta có:
am.an = a m+ n ; (am)n = am.n ( Sinh viên tự CM)
Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi là bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dưới dạng tổng:
( ma + na = (m + n )a ; n(ma) = m.n a )
Định lý 3: tr41.
Sinh viên tự trả lời các ví dụ 1, 2 tr 42.
( Bài tập: 1 ( 5 tr 42-43.


BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Trang 42:
Bài 1: X là nửa nhóm. a ( X ; b ( Xsao cho: ab = ba.
a) CMR: (ab)n = anbn ( n > 1 ; n ( N
b) Nếu (ab)2 = a2b2 thì có suy ra được ab = ba không ?
Bài giải:
a).Quy nạp theo n:
Với n = 1 ta có ab = ba.
Giả sử với m = n-1 có: (ab)n-1 = an-1bn-1
Ta CM đúng với m = n.
Có (ab)n = (ab)n-1(ab) = an-1bn-1(ab) = an