đường cong spiline bậc 3

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ B-SPLINE


Tóm tắt giải thuật spline tự nhiên:

Bước 1:
Tính
:



k=0,..n-1 và giải hệ phương trình sau để tìm

k=0,..n


k=1….n-1 (*)
Bước 2:
Tính
theo công thức:









Bước3:
Xây dựng hàm nội suy spline bậc ba tự nhiên g(x)cần tìm:


Ví dụ:
Tìm spline bậc ba tự nhiên nội suy từ bảng số

x
0 1 3

y
1 2 8

GiẢI:
Trong đoạn [0,3]của hàm

Ta có
hệ phương trình (*)dùng để xác định hệ số
có dạng


vì là spline tự nhiên nên
và do đó

với k =0: ta có
và
và do đó


Với k=1 ta có
và
và do đó


Như vậy spline bậc ba cần tìm có dạng

g(x)=
0 ≤ x ≤ 1


1 ≤ x ≤ 3
Ví dụ 2:
x
 0 1 2

f(x)
 0 1 2


Thế vào (*)ở trên ta được


Với k=0 ta có




Với k=1 ta có







không phải là spline bậc ba


Ví dụ 3:
Xây dựng hàm spline bậc ba
f(x) = cosπx
với các điểm x =0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1
Giải:

x
 0



1

f(x)
 1
0
-1


Xét trên [0,
]





Với k=0 ta có




với k=1 ta có





Xét [
,1]
Ta có



Ta được phương trình:




Với k=0 ta có







Với k=1 ta có















G(x)







Các Bài Toán:
B-Spline bậc ba:


Ví dụ 1: Tìm B- Spline bậc 3 tự nhiên nội suy bảng số trong đoạn [0,3] của hàm y=2x
X
0
1
0

Y
1
2
8

 Giải:
Ta có h0 = 1, h1 = 2
Dựa vào hệ phương trình :
để xác định các hệ số mk có dạng:

Vì là Spline tự nhiên nên m0 = m2 = 0 và do đó m1 = 2
Với k = 0: ta có :A0 = 1, B0 =


Với k=1 tacó A1 =
và B1 = 8

Như vậy Spline bậc 3 cần tìm có dạng:



Trên đây là hình vẽ so sánh đồ thị hàm nội suy Spline bậc 3: y = g(x) với y= 2x trong đoạn [0,3].

Ví dụ 2:
Hình bên chỉ ra nội suy 4 điểm bằng cách dùng 3 (cubic) f1(x) , f2(x), f3(x). Tổng quát nếu có (n + 1 ) điểm, ta cần có n hàm Spline Bậc 3 dạng:
fi(x) = A1i + A2i + A3iX2 + A4iX2
i = 1, 2, 3,…, n
Có 4n hệ số Ạji , có thể xác định theo các điểm điều kiện sau :
Hàm Cubic phải gặp tất cả các điểm ở bên trong : có dược 2n phương trình:
f 1(X1)= y1; i = 1, …, n
f i + 1(X1)= y1; i = 1, …, n
Đạo hàm bậc 1 phải liên tục tại các điểm bên trong, dẫn đến được(n-1) phương trình f’1(Xi)= f’i + 1(X1), i = 1, 2, …, n-1
Đạo hàm bậc 2 cũng phải liên tục tại các điểm bên trong ,thêm được (n-1) phương trình nữa: f’i(Xi)=f’’i+1(X1), i = 1, 2, …, n-1
Hai điều kiện cuối cùng dựa vào 2 điểm cuối của đường Spline, ở đây thường
Đăt: f’1(X0) = 0 và f’n(Xn) = 0.
Sắp xếp lại hàm f1(X0), ta chỉ cần (n-1) phương trìnhcần thiết để giải, có dạng


Với
, Với i