DUNG MAY TINH DE GIAI TOAN

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

1. Biểu thức số
2. Hàm số
3. Phương trình lượng giác
4. Tổ hợp
5. Xác suất
6. Dãy số và giới hạn của dãy số
7. Hàm số liên tục
8. Đạo hàm và giới hạn của hàm số
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

Quy ước. Khi tính gần đúng, chỉ ghi kết quả đã làm tròn với 4 chữ số thập phân. Nếu là số đo góc gần đúng tính theo độ, phút, giây thì lấy đến số nguyên giây.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

1. Biểu thức số

Máy tính giúp ta tính giá trị (nói chung là gần đúng) của biểu thức số bất kỳ nếu ta nhập chính xác biểu thức đó vào máy.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

1. Biểu thức số
Bài toán 1.1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
A = cos750cos150;
B = cos(2?/9) cos(4?/9) cos(8?/9) ;
C=1/sin180-1/sin540 +tan90-tan270-tan630+tan810.
VINACAL
KQ: A = 1/4; B = - 1/8; C = 6.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

1. Biểu thức số
Bài toán 1.2. Tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau:
A = cos750 sin150; B = sin750cos150;
C = sin(5?/24) sin(?/24).
VINACAL
KQ: A ? 0,0670; B ? 0,9330; C ? 0,0795.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

1. Biểu thức số
Bài toán 1.3. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A = 1 + 2cos? + 3cos2? + 4cos3? nếu ? là góc nhọn mà sin? + cos? = 0,5.
Góc nhọn ? tuy được xác định từ điều kiện sin? + cos? = 0,5 nhưng nó chưa có sẵn dưới dạng hiện. Do đó, thông thường ta cần tính giá trị của góc nhọn ?. Vì biểu thức A là một hàm số của cos? nên ta chỉ cần tính giá trị của cos?.

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

1. Biểu thức số
Bài toán 1.3. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A = 1 + 2cos? + 3cos2? + 4cos3? nếu ? là góc nhọn mà sin? + cos? = 0,5.
sin? = 0,5 - cos?,
1 - cos2? = 0,25 - cos? + cos2?
2x2 - x - 0,75 = 0, 0 ? x = cos? ? 1,
x ? 0,911437827
A = 1+ 2x + 3x2 + 4x3. VINACAL
KQ: A ? 8,3436.

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

1. Biểu thức số
Bài toán 1.4. Cho góc nhọn ? thoả mãn hệ thức sin? + 2cos? = 4/3. Tính gần đúng giá trị của biểu thức
S = 1 + sin? + 2cos2? + 3sin3? + 4cos4?.
sin? = 4/3 - 2cos?
1 - cos2? = 16/9 - 16/3 cos? + 4cos2?
5cos2? - 16/3 cos? + 7/9 = 0
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

1. Biểu thức số
Bài toán 1.4. Cho góc nhọn ? thoả mãn hệ thức sin? + 2cos? = 4/3. Tính gần đúng giá trị của biểu thức
S = 1 + sin? + 2cos2? + 3sin3? + 4cos4?.
cos?1 ? 0,892334432; cos?2 ? 0,174322346
?1 ? 0,468305481; ?2 ? 1,395578792 VINACAL
KQ: S1 ? 5,8560; S2 ? 4,9135.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

2. Hàm số

Khi cần tính giá trị của một hàm số tại một số giá trị khác nhau của đối số, ta nhập biểu thức của hàm số vào máy rồi dùng phím CALC để yêu cầu máy lần lượt tính (gần đúng) từng giá trị đó.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

2. Hàm số
Bài toán 2.1. Tính gần đúng giá trị của hàm số
f(x) = (2sin2x+(3+31/2)sinxcosx+(31/2-1)cos2x)/
(5tanx-2cotx+sin2(x/2)+cos2x+1)
tại x = - 2; ?/6; 1,25; 3?/5.
VINACAL
KQ: f(-2) ? 0,3228; f(?/6) ? 3,1305;
f(1,25) ? 0,2204; f(3?/5) ? - 0,0351.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

2. Hàm số
Bài toán 2.2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = cos2x + 31/2 cosx - 21/2.
f(x) = 2cos2x - 1 + 31/2 cosx - 21/2
g(t) = 2t2 + 31/2 t - 1 - 21/2, - 1 ? t = cosx ? 1
g`(t) = 4t + 31/2, - 1? t ? 1
g`(t) = 0 <=> t = - 31/2/4

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

2. Hàm số
Bài toán 2.2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = cos2x + 31/2 cosx - 21/2.
g(-1) ? - 2,14626437;
g(1) ? 1,317837245;
g(-31/2/4) ? - 2,789213562
KQ: max f(x) ? 1,3178; min f(x) ? - 2,7892.

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

2. Hàm số
Bài toán 2.3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = (sinx + 2cosx)/(3cosx + 4).
Đây là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2?. Chỉ cần xét giá trị của nó tại x thuộc một đoạn có độ dài bằng chu kỳ, chẳng hạn đoạn [0; 2?].
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

2. Hàm số
Bài toán 2.3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = (sinx + 2cosx)/(3cosx + 4).
Vì đạo hàm của hàm số này là
y` = (3 - 8sinx + 4cosx)/(3cosx + 4)2
nên việc tìm các nghiệm của đạo hàm trên đoạn [0; 2?] có khó khăn hơn (phải giải phương trình 3 - 8sinx + 4cosx = 0).

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

2. Hàm số
Bài toán 2.3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (sinx + 2cosx)/(3cosx + 4).
Ta xét tập giá trị của hàm số này.
3ycosx + 4y = sinx + 2cosx
sinx + (2 - 3y)cosx = 4y
12 + (2 - 3y)2 ? (4y)2
7y2 + 12y - 5 ? 0
0,346592824 ? y1 ? y ? y2 ? - 2,060878539
KQ: max f(x) ? 0,3466; min f(x) ? - 2,0609.


giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

3. Phương trình lượng giác
Máy tính giúp ta tìm được giá trị (gần đúng) của:
- Góc ?, - ?/2 ? ? ? ?/2 hoặc 900 ? ? ? 900, khi biết sin? (sử dụng phím sin- 1).
- Góc ?, 0 ? ? ? ? hoặc 00 ? ? ? 1800, khi biết cos? (sử dụng phím cos- 1).
- Góc ?, - ?/2 < ? < ?/2 hoặc 900 < ? < 900, khi biết tan? (sử dụng phím tan- 1).
Việc giải phương trình lượng giác trên máy tính cầm tay quy về việc tìm góc ? khi biết một trong các giá trị lượng giác của nó.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

3. Phương trình lượng giác
Bài toán 3.1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx = 2/3.
sinA = 2/3
x1 = A + k2?; x2 = ? - A + k2?
VINACAL
KQ: x1 ? 0,7297 + k2?;
x2 ? - 0,7297 + (2k + 1) ?.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

3. Phương trình lượng giác
Bài toán 3.2. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình 2sinx - 4cosx = 3.
sinx.1/51/2 - cosx.2/51/2 = 3/(2.51/2)
cosA = 1/51/2, sinB = 3/(2.51/2)
sin(x - A) = sinB
x1 = A + B + k3600; x2 = A + 1800 - B + k3600
VINACAL
KQ: x1?105033`55"+k3600; x2?201018`16"+k3600.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

3. Phương trình lượng giác
Bài toán 3.3. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
2sin2x + 3sinxcosx - 4cos2x = 0.
2t2 + 3t - 4 = 0, tanx = t
t1 ? 0,850781059; t2 ? - 2,350781059
KQ: x1 ? 400 23` 26" + k1800;
x2 ? - 660 57` 20" + k1800.

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

3. Phương trình lượng giác
Bài toán 3.4. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
sinx + cos2x + sin3x = 0.
2sin2xcosx + cos2x = 0
4sinxcos2x + 1 - 2sin2x = 0
4t(1 - t2) + 1 - 2t2 = 0, - 1 ? t = sinx ? 1
- 4t3 - 2t2 + 4t + 1 = 0
t1 ? 0,906803251; t2 ? - 1,171461541;
t3 ? - 0,235341709

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

3. Phương trình lượng giác
Bài toán 3.4. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
sinx + cos2x + sin3x = 0.

KQ: x1 ? 650 4` 2" + k3600;
x2 ? 1140 55` 58" + k3600;
x3 ? - 130 36` 42" + k3600;
x4 ? 1930 36` 42" + k3600.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

3. Phương trình lượng giác
Bài toán 3.5. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
sinxcosx - 3(sinx + cosx) = 1.
(t2 - 1)/2 - 3t = 1, |t| ? 21/2
sinx + cosx = t
sin(x + 450) = t/21/2
KQ: x1 ? - 640 9` 28" + k3600;
x2 ? 1540 9` 28" + k3600.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
4. Tổ hợp
Máy tính giúp ta tính giá trị của n!, Ckn, Akn khi biết giá trị của n và k (sử dụng các phím x!, nCr, nPr).
Giải toán tổ hợp trên máy tính cầm tay thực chất là việc xây dựng các biểu thức có liên quan với n!, Ckn, Akn rồi nhờ máy tính giá trị của các biểu thức đó.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
4. Tổ hợp
Bài toán 4.1. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cần chọn 7 học sinh đi tham gia chiến dịch Mùa hè tình nguyện của đoàn viên, trong đó có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn?
Số cách chọn là C420C315.VINACAL
KQ: 2204475.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
4. Tổ hợp
Bài toán 4.2. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?
Số các số chẵn tận cùng là 0: A49
Số các số chẵn tận cùng khác 0: 8.A38.4
Tổng số: A49 + 8.A38.4 = 41A38VINACAL
KQ: 13776.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

4. Tổ hợp
Bài toán 4.3. Có 30 câu hỏi khác nhau cho một môn học, trong đó có 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ các câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2?
KQ: C215(C25C110+C15C210)+C315C15C110 = 56875.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

5. Xác suất

Giải toán xác suất trên máy tính cầm tay thực chất là việc xây dựng các biểu thức có liên quan với n!, Ckn, Akn rồi nhờ máy tính giá trị của các biểu thức đó.


giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

5. Xác suất
Bài toán 5.1. Chọn ngẫu nhiên 5 số tự nhiên từ 1 đến 200. Tính gần đúng xác suất để 5 số này đều nhỏ hơn 50.
P = C549/C5200.
VINACAL
KQ: P = C549/C5200 ? 0,0008.

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
5. Xác suất
Bài toán 5.2. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng mầu và xác suất để chọn được hai viên bi khác mầu. Chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn được ba viên bi hoàn toàn khác mầu.
KQ: P(hai bi cùng mầu) = (C24+C23+C22) /C29 = 5/18;
P(hai bi khác mầu) = 1 - (C24+C23+C22) /C29 =13/18;
P(ba bi khác mầu) = C14C13C12/C39 = 2/7.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
5. Xác suất
Bài toán 5.3. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một người bắn cung là 0,3. Người đó bắn ba lần liên tiếp. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu đúng một lần, ít nhất một lần, đúng hai lần.
KQ: P (đúng một lần) = C13.0,3.0,72 = 0,441;
P (ít nhất một lần) = 1 - 0,73 = 0,657;
P (đúng hai lần) = C23.0,32.0,7 = 0,189.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

5. Xác suất
Bài 5.4. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong một cỗ bài tú lơ khơ. Tính gần đúng xác suất để trong 5 quân bài đó có hai quân át và một quân 2, ít nhất một quân át.
P (hai quân át và một quân 2) = C24.C14.C244/C552.
P (ít nhất một quân át) = 1 - C548/C552.
KQ: P (hai quân át và một quân 2) ? 0,0087;
P (ít nhất một quân át) ? 0,3412.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

6. Dãy số và giới hạn của dãy số
Nếu đã biết công thức tính số hạng tổng quát của dãy số thì máy tính giúp ta tính số hạng của dãy số theo cách tính giá trị của hàm số.
Nếu đã biết công thức tính số hạng của dãy số theo số hạng liền trước (công thức truy hồi) thì máy tính giúp ta tính dần dần từng số hạng của dãy số và giới hạn của dãy số.


giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

6. Dãy số và giới hạn của dãy số
Bài toán 6.1. Dãy số an được xác định như sau:
a1 = 2, an + 1 = (1+ an)/2 với mọi n nguyên dương.
Tính giá trị của 10 số hạng đầu, tổng của 10 số hạng đầu và tìm giới hạn của dãy số đó.
KQ: a1 = 2; a2 = 3/2; a3 = 5/4; a4 = 9/8; a5 = 17/16; a6 = 33/32; a7 = 65/64; a8 = 129/128; a9 = 257/256; a10 = 513/512; S10 = 6143/512; lim an = 1.



giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

6. Dãy số và giới hạn của dãy số
Bài toán 6.2. Dãy số an được xác định như sau:
a1 = 1, an + 1 = 2 + 3/an với mọi n nguyên dương. Tính giá trị của 10 số hạng đầu và tìm giới hạn của dãy số đó.
KQ: a1 = 2; a2 = 5; a3 = 13/5; a4 = 41/13;
a5 = 121/41; a6 = 365/121; a7 = 1093/365;
a8 = 3281/1093; a9 = 9841/3281;
a10 = 29525/9841; lim an = 3.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

6. Dãy số và giới hạn của dãy số
Bài toán 6.3. Dãy số an được xác định như sau:
a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = (an + 1 + an)/2 với mọi n nguyên dương. Tính giá trị của 10 số hạng đầu của dãy số đó.
Nên gán số 2 (= a1) vào ô nhớ A, gán số 3 (= a2) vào ô nhớ B, tính a3 theo công thức (A + B)/2 rồi gán vào ô nhớ C, tính a4 theo công thức (B + C)/2 rồi gán vào ô nhớ D .
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

6. Dãy số và giới hạn của dãy số
Bài toán 6.3. Dãy số an được xác định như sau:
a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = (an + 1 + an)/2 với mọi n nguyên dương. Tính giá trị của 10 số hạng đầu của dãy số đó.
KQ: a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5/2; a4 = 11/4; a5 = 21/8;
a6 = 43/16; a7 = 85/32; a8 = 171/64; a9 = 341/128; a10 = 683/256.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

6. Dãy số và giới hạn của dãy số
Bài toán 6.4. Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là
un = (3 + (3 + (3 + . + 31/2)1/2)1/2)1/2
(n lần số mũ 1/2).
u1 = 31/2, un+1 = (3 + un)1/2.
KQ: lim un ? 2,3023.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
6. Dãy số và giới hạn của dãy số
Bài toán 6.5. Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là
un = sin(1 - sin(1 - sin(1 - . - sin1)))
(n lần chữ sin).
u1 = sin1, un+1 = sin(1 - un).
KQ: lim un ? 0,4890.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

7. Hàm số liên tục

Máy tính giúp ta tìm được nghiệm (gần đúng) của phương trình f(x) = 0, trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] nào đó mà f(a).f(b) < 0.
Nghiệm đó thường được tìm thấy bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

7. Hàm số liên tục
Bài toán 7.1. Tính nghiệm gần đúng của phương trình x3 + x - 1 = 0.
Nhờ chương trình giải phương trình bậc ba, máy tính giúp ta tìm được tất cả các nghiệm (gần đúng) của phương trình bậc ba với hệ số bằng số cụ thể.VINACAL
KQ: x ? 0,6823.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

7. Hàm số liên tục
Bài toán 7.2. Tính nghiệm gần đúng của phương trình x2cosx + xsinx + 1 = 0.
Đây là phương trình f(x) = 0 với f(x) = x2cosx + xsinx + 1 là hàm số chẵn. Do đó chỉ cần tính nghiệm dương của phương trình này.
x1 = 2, xn + 1 = arccos((- xn.sinxn - 1)/xn2)
VINACAL
KQ: x ? �2,1900.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
7. Hàm số liên tục
Bài toán 7.3. Tính nghiệm gần đúng của phương trình x4 - 3x2 + 5x - 6 = 0.
a1 = 1, an + 1 = (3an2 - 5an + 6)1/4
b1 = - 2, bn + 1 = - (3bn2 - 5bn + 6)1/4
VINACAL
KQ: x1 ? 1,5193; x2 ? - 2,4558.

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
7. Hàm số liên tục
Bài toán 7.4. Tính các nghiệm gần đúng của phương trình - 2x3 + 7x2 + 6x - 4 = 0.
VINACAL
KQ: x1 ? 4,1114; x2 ? - 1,0672; x3 ? 0,4558.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
8. Đạo hàm và giới hạn của hàm số
Máy tính giúp ta tính đạo hàm của hàm số cho trước tại giá trị bằng số cụ thể của đối số (sử dụng phím d/dx).
Việc tìm giới hạn của hàm số trên máy tính cầm tay thường quy về việc tìm đạo hàm của hàm số thích hợp: Nếu tồn tại f`(a) thì
lim [f(x)/(x - a)] = f`(a).
x?a

giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
8. Đạo hàm và giới hạn của hàm số
Bài toán 8.1. Tính f`(?/2) và tính gần đúng f`(- 2,3418) nếu
f(x) = sin 2x + 2x cos3x - 3x2 + 4x - 5.
VINACAL
KQ: f`(?/2) = 2; f`(- 2,3418) ? 9,9699.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

8. Đạo hàm và giới hạn của hàm số
Bài toán 8.2. Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1)/(4x2 + 2x + 1)1/2 tại điểm có hoành độ x = 1 + 21/2.
Tiếp tuyến: y = f(1+21/2)+ f`(1+21/2)(x - 1- 21/2).
a = f`(1+21/2), b = f(1+21/2) - (1+21/2).f`(1+21/2).
KQ: a ? - 0,0460; b ? 0,7436.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY
8. Đạo hàm và giới hạn của hàm số
Bài toán 8.3. Tìm
lim ((x2 + 3x + 4)1/3 - (x + 3)1/2)/(x - 1).
x?1
Cần tính f`(1) mà
f(x) = (x2 + 3x + 4)1/3 - (x + 3)1/2.
VINACAL
KQ: 1/6.
giải toán lớp 11
trêN máY tính CầM TAY

8. Đạo hàm và giới hạn của hàm số
Bài toán 8.4. Tìm
lim ((x3+8x2+24)1/3 - (x2+3x+6)1/2)/(x2-3x+2).
x?2
Cần tính f`(2) mà
f(x) = ((x3+8x2+24)1/3 - (x2+3x+6)1/2)/(x-1).
VINACAL
KQ: 1/24.