Dựng đa giác đều n cạnh.doc

Dựng đa giác đều n cạnh
(bằng thước thẳng và compa)
Ta có thể chỉ dùng thước thẳng và compa để vẽ một cách dễ dàng một tam giác đều, một tứ giác đều (hình vuông), một lục giác đều, một bát giác đều…  
Ta cũng có thể (chỉ dùng thước thẳng và compa) để vẽ được một ngũ giác đều, mặc dầu hơi khó khăn một chút. Nhưng, ta không thể dựng được một đa giác đều có 7 cạnh hay 9 cạnh với thước và compa!
Bài này, “NST” giúp bạn hiểu thêm những điều trên
I.- Điều kiện để vẽ được một đa giác đều chỉ bằng thước thẳng và compa
Không phải chỉ dùng thước thẳng và compa mà vẽ được mọi đa giác đều. Vậy, khi nào thì một đa giác đều có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa?
Năm 1796, nhà toán học Carl Friedrich Gauss đã tìm được cách vẽ đa giác đều có 17 cạnh bằng thước thẳng  và compa, bằng cách xem các đỉnh của đa giác trên vòng tròn như là nghiệm của phương trình số phức zn – 1 = 0.
Năm năm sau, ông đã khai triển được lý thuyết gọi là “Chu kỳ Gauss” (Gaussian periods) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cứu Số học). Lý thuyết nầy giúp ông tìm được điều kiện đủ  để một đa giác đều có thể vẽ được bằng thước thẳng và compa. Điều kiện đó như sau:
          “Một đa giá đều có n cạnh có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa            khi n bằng tích số của một luỹ thừa bậc 2 với một số bất kỳ các số Fermat           nguyên tố khác nhau.”
Nếu gọi F1, F2, … là các số Fermat nguyên tố khác nhau, thì điều kiện trên có thể viết như sau:
            Đa giác đều n cạnh vẽ được khi  n = 2m F1F2F3 …
Gauss cũng cho là điều kiện đó cũng là điều kiện cần nhưng không chứng minh.
Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng mính được điều kiện của Gauss cũng là điều kiện đủ. Do đó, kết quả tìm được bởi Gauss và chứng minh đầy đủ bởi Wantzel được gọi là
Định lý Gauss-Wantzel:
            “Điều kiện ắt có và đủ để một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được               bằng thước  thẳng và compa là n bằng tích số của một luỹ thừa của 2              với một số bất kỳ các  số Fermat nguyên tố khác nhau.”
(Số Fermat là số có dạng  F = 2k + 1 với k là một số nguyên.)
Cho đến hiện nay, người ta chỉ biết có 5 số Fermat nguyên tố là:
            F1 = 21 + 1 = 3,           F2 = 22 + 1  = 5,                F3 = 24 + 1 = 17             F4 = 28 + 1 = 257,    F5 = 216 + 1 = 65,537
Theo điều kiện Gauss, thì các đa giác đều có n cạnh sau đây có thể vẽ được chỉ bắng thước thẳng và compas:
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, …
 Thật vậy,
            Với  n = 3   =>  m = 0, F1 = 3;                         Với  n = 5   => m = 0, F2 = 5             Với  n = 15 =>  m = 0, F1 = 3, F2 = 5;              Với  n = 17 => m = 0, F3 = 17             Với  n = 6   =>  m = 1, F1 = 3;                         Với  n = 20 => m = 2, F2 = 5
 Để ý là mọi đa giác đều có số cạnh là luỹ thừa của 2 như
n = 4 = 22, n = 8 = 23, n = 16 = 24, … đều có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa.   Các đa giác đều có n cạnh sau đây không thể vẽ được bằng thước thẳng và compa:
 n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, …
 Thật vậy, không thể có số m nào và số Fermat nguyên tố nào mà có tích số 2mF1F2F3… bằng 7, 9, 11, ….


II. Bài toán Minh họa


1.- Dựng ngũ giác
Bước 1. Dựng đường tròn tâm O và 2 đường kính vuông góc AR và PQ (Lấy đường kính PQ, sau đó dùng compa và thước thẳng để dựng đường trung trực của đoạn PQ. Đường thẳng này cắt (O) tại A và R).

Bước 2. Dựng trung điểm M của đoạn PO. Sau đó dựng đường tròn tâm M bán kính MA, cắt PQ tại N.

Bước 3. Dựng đường tròn tâm A, bán kinh AN. Đường tròn này cắt (O) tại 2 điểm B, E.









Bước 4. Dựng đường