Dựng 3 đường tròn tiếp xúc trong tam giác đều.doc

Dựng 3 đường tròn tiếp xúc trong tam giác đều


Bài toán 1: Cho tam giác đều có cạnh là a,
a/ Dựng 3 đường tròn tiếp xúc nhau và mỗi đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh tương ứng của tam giác
b/ Tính bán kính các đường tròn được dựng.

Bài giải
a/ Theo đầu bài, ta có ( đều ABC cạnh là a; phải dựng 3 đường tròn O1, O2, O3 như hình bên.
Phân tích: Giả sử O1 tiếp xúc với 2 cạnh AB và AC ( tâm O1 phải nằm trên đường đều (A. Khoảng cách từ tâm O1 đến 2 cạnh chính là đoạn thẳng vuông góc với AC hạ từ O1 tới tếp điểm. Các đương tròn O2, O3 cũng tương tự.
Cách dựng:
Hạ 2 đường cao CH ( BC và AI ( CB
Dựng tia Ix là phân giác của (CIA, tia này cắt CH tại O.
O là tâm của đường tròn thứ nhất phải tìm
Hạ OK ( CI và cắt CI tại K ( lấy OK làm bán kính (r) ta dưng được đường tròn thứ nhất phải tìm.
Đường tròn O2 và O3 cũng dựng tương tự.

Chứng minh:
Theo cách dựng trên, O1 nằm trên CH ( vừa là đường cao vừa là phân giác của (C); đồng thời O1 nằm trên phân giác (CIA ( O1 là tâm của đường tròn tiếp xúc với CB, AB và AI
Tương tự ta có O2 là tâm đường tròn tiếp xúc
AB, CB và AI.
2 đường tròn O1, O2 cùng tiếp xúc với AI và cùng bán kính r ( 2 tiếp điểm của 2 đường tròn O1, O2 với AI trùng nhau ( vậy chung phải tiếp xúc nhau.



b/ Tính r : Theo cách dựng ta có r là tâm đường tròn nội tiếp ( CHB với các độ dài sau: (( B = 60o)
CB= a; CH =
HB = 1/2a; Gọi chu vi ( là p thì theo công thức Heron ta có :

(1)
a,b,c là 3 cạnh ứng với bài này p là :



Thay vào công thức (1) ta tính được




Bài toán 2:
Cho tam giác đều có cạnh là a. Dựng 3 đường tròn tiếp xúc nhau và mỗi đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh tương ứng của tam giác; tính bán kính của mỗi đường tròn .
Gợi ý giải:
Bài 2 khác bài 1 ở chỗ mỗi đường tròn chỉ tiếp xúc 1 cạnh của ( ABC.
Giả sử dựng được 3 đường tròn như hình bên.
Để 3 đường tròn này tiếp xúc nhau thì mỗi đường tròn đồng thời phải tiếp xúc với 1 đường phân giác của góc tương ừng. Từ đó suy ra cách dựng và cách tính r tương tự bài 1

Ghi chú: Nếu đề bài không chỉ rõ đường tròn tiếp xúc 1 hay 2 cạnh thì bài làm phải đưa ra cả 2 trường hợp như Bài 1 và bài 2. nghĩa là ta có 2 đáp án .


PHH biên soạn 10 -2013 - có tham khảo 1 đề tổng quát tại diendantoanshoc