Đồng nhất thức Hurwits

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
3.1.4. Đồng nhất thức Hurwitz

Xét hàm số biến thực Ký hiệu là tổng các theo tất cả hoán vị của các đối số

Ta có
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Xét các biểu thức xác định theo công thức sau đây






Nhận xét rằng khi các đều không âm thì các biểu thức cũng nhận giá trị không âm.
Ta có:


luôn luôn là một số không âm khi các
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Mặt khác


Tương tự:




Lấy tổng các ta thu được


Theo định nghĩa thì (3.12) chính là