ĐoànHN: STGT lý thuyết trường điện từ

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY
Số tiết: 45

Tài liệu tham khảo
1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006
2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995
3. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978

Chương 0
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1. Vector














Phương:

Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
Độ lớn:



2. Toán tử nabla


3. Gradient


4. Divergence


5. Rotary


Số phức
Hàm mũ


Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2(i. Thực vậy, ta có


Suy ra


Công thức Euler
eiy = cosy +isiny
Khi đó số phức z = r ei( = r(cos( +isin()
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:


(1)

Trong đó:
a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0 ( (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
f(x) ( 0 ( (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
a1, a2 ( const ( (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:


(2)

a1, a2 là các hàm của biến x
Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.
Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi
, ngược lại là phụ thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.
Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:


(3)

Trong đó:
a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ( 0
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất


(4)

Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình


(5)

và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình


(6)

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:


(7)

p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng


(8)

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra

,

(9)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có


(10)

Vì ekx ( 0 nên


(11)

Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7)
Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1 và k2 như sau
- k1 và k2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là

,

(12)