Đoàn: STGT ôn tập toán lớp 12- THPT

Gợi ý giải bài toán tích phân :

Tính tích phân bất định:

axlogaxdx hoặc:
au(x)logau(x)du(x) (x € R+).
Trước hết phải xét xem hàm số dưới dấu tích phân có liên tục hay không( vì hàm số có liên tục trên một đoạn nào đó thì nó mới khả tích trên đoạn đó):
Ta có hàm số : y = axlogax có miền xác định là
x >o hay tập hợp số thực dương R+( vì số o và số âm không có lôgarit ); có miền giá trị thuộc tập hợp số thực R.
Nhưng bằng phép thử một số giá trị hàm số tại các điểm liên tiếp trên miền xác định( phần dương trên trục số) thì các giá trị tương ứng của hàm số trên lại rời rạc trên trục số(giá trị của hàm số là một tập rời rạc các điểm) và đây một ánh xạ(toán tử) từ R+
R thì ánh xạ này là một đơn ánh nhưng không phải là một toàn ánh cho nên hiển nhiên nó không phải là song ánh. Như vậy, với đặc điểm đó theo định nghĩa hàm liên tục thì hàm số trên không liên tục trên R hay R+ và vì vậy nó không khả tích trên đó. Cũng do vậy mà ta không thể tính được tích phân trên vì hàm số dưới dấu tích phân bất định này không khả tích. Xét về ý nghĩa hình học của việc tính tích phân trên: Do đường biểu diễn của hàm số trên là đường không liền nét nên việc tính tích phân xác định của hàm số trên trên một đoạn nào đó là không tính được( vì hình thang cong giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số trên đoạn đó là hình cong mở, vì vậy diện tích nó là vô hạn).
Đó cũng là lý do vì sao nếu chưa kiểm tra tính liên tục của hàm số trên mà ta vội sử dụng các phương pháp tính tích phân: Đổi biến số; tích phân từng phần( học ở lớp 12) hoặc một số cách giải khác như:( dựa vào tích phân là phép toán nguợc của đạo hàm; dựa vào định nghĩa tích phân dựa vào công thức biến đổi hàm mũ, hàm Logarit, công thức lượng giác; công thức hạ bậc phân thức; hoặc cộng, trừ tích phân đó với một số tích phân khác tính được để tạo nên một hệ tuyến tính có ẩn là tích phân cần tính để giải; hoặc vẽ đồ thị hàm dưới dấu tích phân rồi dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân để tìm cách tính;...) thì vẫn không giải được bài toán trên !
(Người gợi ý: Trần Việt Thao- VP. Tỉnh đoàn Thanh Hóa).

Đề nghị các bạn khác đóng góp cách giải hay hơn !