Định Lý động năng

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918)

Doctoral thesis : The general problem of the stability of motion,University of Moscow,12 October 1892
Academician of Russian Academy of Sciences in St Petersburg (1901)
French Academy of Sciences (1916)


ỔN ĐỊNH LYAPUNOV
Điểm cân bằng hệ phi tưyến


Phương trình trạng thái hệ phi tuyến có dạng
x, f là các vectơ n*1
Nếu x xc hằng số khi u = uc hằng số bất kỳ thì xc gọi là điểm cân bằng của hệ phi tuyến. Số điểm cân bằng phụ thuộc bản chất của hàm f
Điểm cân bằng là nghiệm của phương trình
f(xc ,uc , t) = 0
Hệ tuyến tính bất biến có một điểm cân bằng duy nhất là x = 0 nếu ma trận A không suy biến
Nếu ma trận A suy biến ta tìm ma trận con không suy biến trong A và suy ra tập vô hạn các điểm cân bằng

Nếu biểu thức của f không chứa u và t ta có hệ tự trị bất biến invariant autonomous
Nếu hệ tự trị có điểm cân bằng khác 0 có thể dùng phép đổi biến để đưa điểm cân bằng về gốc
ỔN ĐỊNH LYAPUNOV
Điểm cân bằng hệ phi tưyến
Ví dụ:
Con lắc biểu điễn bằng phương trình vi phân
Trong đó b là hệ số ma sát
Đặt biến trạng thái x1= , x2 = d /dt,
phương trình trạng thái là:
Ví dụ:
Hai điểm cân bằng là (0 0) và (–1 0)
Điểm cân bằng là x2=0, sin(x1) = 0 hay (0 0) và (pi 0)
ỔN ĐỊNH LYAPUNOV

Định nghĩa ổn định theo Lyapunov
Cho hệ tự trị với điểm cân bằng ở gốc
Hệ thống là ổn định ở gốc theo Lyapunov nếu cho trước R > 0 thì tìm được r > 0 sao cho nếu ||x(0)|| <= r thì ||x(t)|| <= R với mọi t >= 0
||x||=(x12+ x22+…+xn2)1/2
Nói cách khác hệ thống ổn định ở gốc nếu x(t) không ra khỏi hình cầu bán kính R
Nếu hệ thống ổn định ở gốc và x(t)  0 thì ổn định tiệm cận
Nếu hệ thống ổn định tiệm cận và x(t)<=a||x(0)||e-bt ,a, b > 0 ta nói là hệ thống ổn định theo hàm mũ với vận tốc b
ỔN ĐỊNH LYAPUNOV

Nếu hệ thống ổn định với bất kỳ giá trị ban đầu x(0) ta nói là hệ thống ổn định toàn cục
Hệ thống tuyến tính hóa
Hệ phi tuyến được tuyến tính hóa để trở thành hệ tuyến tính và việc khảo sát sẽ đơn giản hơn
Đặt A= và bỏ qua số hạng bậc cao fhot ta có hệ tuyến tính
Ví dụ:
Điểm cân bằng là 0
ỔN ĐỊNH LYAPUNOV
Hệ tuyến tính hóa
Định lý tuyến tính hóa Lyapunov
Nếu hệ tuyến tính hóa có mọi nghiệm riêng ở bên trái mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là ổn định tiệm cận
Nếu hệ tuyến tính hóa có nghiệm riêng ở bên phải mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là không ổn định
Trường hợp hệ tuyến tính hóa ở biên giới ổn định thì không có kết luận về hệ phi tuyến
Ví dụ: hệ phi tuyến , gốc là một trong hai điểm cân bằng
Hệ thống tuyến tính hóa
a < 0: hệ ổn định, hệ phi tuyến ổn định tiệm cận
a < 0: hệ không ổn định, hệ phi tuyến không ổn định
a = 0: hệ ở biên giới ổn định, không có kết luận về hệ phi tuyến
ĐỊNH LÝ LYAPUNOV THỨ NHẤT
Triết lý của Lyapunov dựa vào năng lượng, nếu năng lượng hệ thống cứ tiêu tán mãi thì sau một thời gian hệ thống phải yên nghỉ ở điểm cân bằng
Cho một hệ thống, ta đi tim một hàm vô hướng dương biểu thị năng lượng và xét xem hàm này tăng hay giảm theo thời gian
Ví dụ: xét hệ lò xo ống nhún
Phương trình động học
Cơ năng bao gồm động năng của khối m và thế năng lò xo
Ta nhận thấy năng lượng V bằng 0 ứng với điểm cân bằng. Đạo hàm của năng lượng theo thời gian
ĐỊNH LÝ LYAPUNOV THỨ NHẤT
Đạo hàm của năng lượng là số âm nên năng lượng liên tục, giảm dẫn đến x và dx/dt giảm về 0
Hàm Xác định dương: Hàm V(x) là xác định dương cục bộ nếu V(0) = 0 và V(x) >0 khi x trong hình cầu bán kính R quanh gốc.
Nếu R là vô cùng thì V là xác định dương toàn cục
Hàm Lyapunov: Nếu hàm V(x) xác định dương có đạo hàm riêng phần liên tục, đạo hàm của hàm V(x) theo thời gian
là hàm bán xác định âm, nghĩa là dV/dt <= 0 thì V(x) gọi là hàm Lyapunov của hệ tự trị dx/dt = f(x)
ĐỊNH LÝ LYAPUNOV THỨ NHẤT
Định lý ổn định cục bộ: Nếu trong vùng cận điểm cân bằng gốc 0 ta tim được hàm Lyapunov V(X) cho hệ tự trị dx/dt = f(x) thì điểm cân bằng là ổn định. Nếu dV/dt là xác định âm thì hệ ổn định tiệm cận
Ví dụ:
Chọn V(x) = (1-cosx) + 1/2(dx/dt)2
V(x) là hàm xác định dương
dV/dt=sinx dx/dt+(dx/dt)*d2x/dt2 = -(dx/dt)2: hàm bán xác định âm
ĐỊNH LÝ LYAPUNOV THỨ NHẤT
Định lý ổn định toàn cục: nếu hệ thống ổn định cục bộ và V(x)   khi ||x||   thì hệ thống ổn định toàn cục
Định lý Lyapunov là điều kiện đủ, nếu không tim được V(x) thì không có kết luận về tính ổn định
Ví dụ:
Ví dụ
HÀM LYAPUNOV CHO HỆ TUYẾN TÍNH
Ma trận xđd: ma trận vuông M là xđd nếu xTMx >0, x  0
Điều kiện cần và đủ để ma trận đối xứng M xđd là các nghiệm riêng của nó dương
Điều kiện cần để ma trận vuông M xđd là các phần tử đường chéo của nó dương
Cho hệ
hệ là ổn định tiệm cận toàn cục nếu và chỉ nếu cho bất ký ma trận đối xứng Q xđd, tìm được ma trận P đối xứng xđd thỏa mãn phương trình Lyapunov
ATP + PA = -Q
Chứng minh: chọn V = xTPx
Để đơn giản chọn Q = I và tìm P
Tiêu chuẩn Sylvester: điều kiện cần và đủ để ma trận vuông M xđd là các định thức con chính của M là dương
HÀM LYAPUNOV CHO HỆ PHI TUYẾN
Phương pháp Krasovskii
Cho hệ phi tuyến tự trị
Chọn hàm V(x)= f T (x)Pf(x), P là ma trận đối xứng xđd
Đặt Q = - [JTP + PJ] , nếu Q xác định dương thì Vchấm xđâ, chọn P = I
HỆ RỜI RẠC
Đối với hệ rời rạc ta xét hàm V(x(k)) và thay đạo hàm bằng hàm V(x(k+1))-V(x(k))
Hệ tuyến tính rời rạc x(k+1)=Fx(k) ổn định toàn cục tiệm cận ở gốc nếu và chỉ nếu cho ma trận đối xứng xđd Q có ma trận đốI xứng xđd P thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc
FTPF – P = - Q
MATLAB
Hàm lyap giải phương trình AX+XAT = - Q
Muốn giải phương trình ATP + PA = -Q với Q đối xứng ta viết
P = lyap (A’, Q)
Hàm dlyap giải phương trình AXAT - X = - Q
Muốn giải phương trình FTPF – P = - Q với Q đối xứng ta viết
P = dlyap (F’, Q)
Ví dụ:
>> A = [-1 –2 ; 1 -4];
>> Q = eye (2);
>> P = lyap (A`, Q)
P =
0.3833 -0.1167
-0.1167 0.1833
> F = [-1 –2 ;1 -4];
>> Q = eye(2);
>> P = dlyap(F`, Q)
P =
-0.7167 0.3667
0.3667 -0.2667
ÁP DỤNG ĐL LYAPUNOV TRONG ĐIỀU KHIỂN
Có hai cách sử dụng đl Lyapunov trong điều khiển
Chọn luật điều khiển u và tìm hàm V chứng minh hệ ổn định
Chọn hàm V từ đó suy ra luật điều khiển để hệ ổn định