Điểm hẹn tiếp tuyến

Di?m h?n
Và tiếp tuyến cố định của họ đồ thị
Ch?ng minh có m?t du?ng th?ng c? d?nh ti?p xúc v?i c? h? d? th? có th? l� b�i toán dó quen thu?c v?i nhi?u ngu?i.
Phuong pháp gi?i b�i toán n�y l� Đoán r?i chứng minh.
Theo cách n�y, ngu?i ta ch? dua ra du?c các ti?p tuy?n c? d?nh c?n tìm trong s? các ti?p tuy?n dã doán du?c ra.
Mọi việc cứ diễn ra b×nh thường như nước chảy xu«i vậy.
Cho đến một ngày cã một c©u hỏi mới đßi sự trả lời :

Hãy ch? ra T?T C? các ti?p tuy?n c? d?nh
c?a h? dồ thị (Cm) cho tru?c ! (*)
Phuong pháp gi?i b�i toán cu ch? tìm du?c các tuy?n tuy?n c? d?nh c?a h? (Cm) trong s? các ti?p tuy?n m� chúng ta dó doán ra m� thôi.
T?p h?p các tuy?n tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? v?n còn b? che khu?t.
B�i vi?t n�y xin trình b�y câu tr? l?i c?a (*) v?n còn b? ngỏ.
*
* *
Ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th?
Bài toán
Tìm t?t c? các ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm) : y = f(x) ph? thu?c tham s? m.
Cách giải
 Điều kiện cần
Bu?c 1. Tìm trên d? th? (Cm) các di?m x0 tho? món f`(x0) = c (cosnt) (1)
(D? có (1) nhi?u khi ph?i d?t tham s? ph?)
Vi?t phuong trình ti?p tuy?n t?i di?m x0 theo công th?c
y = f`(x0)(x ? x0) + y0 (2)
N?u ti?p tuy?n t?i x0 l� c? d?nh thì đó l� l?i gi?i c?a b�i toán
N?u ti?p tuy?n t?i x0 chua c? d?nh thì ti?p t?c bu?c 2.
Bu?c 2. Tìm di?u ki?n c?a tham s? ph? d? (2) l� ti?p tuy?n c? d?nh.
Thay giỏ tr? c?a tham s? ph? tìm du?c ? bu?c 2 v�o (2), ta có ti?p tuy?n ph?i tìm.
 Điều kiện đủ

Thí dụ 1.
T×m tất cả c¸c tiếp tuyến cố định của họ đồ thị
(Cm) : y = (m + 1)x3  (2m + 1)x2 + (m  1)x + 1.
Lời giải
 Điều kiện cần.
Ta có y` = m(3x2 ? 4x + 1) + 3x2 ? 2x ? 1.
N?u có m?t ti?p tuy?n c? d?nh chung cho m?i d? th? c?a h? (Cm) thì hi?n nhiên h? s? góc c?a ti?p tuy?n ?y không d?i.
Theo ý nghia hình h?c c?a d?o h�m thì ?t t?n t?i di?m x sao cho y` cò giá tr? không ph? thu?c m.
Di?u dó có khi v� ch? khi 3x2 ? 4x + 1 = 0 ? x = 1 v� (*)
? Di?u ki?n d?
+ T?i x = 1 ta có y` = 0; y = 0.
Phuong trình ti?p tuy?n c?a (Cm) t?i x = 1 l� y = 0(x ? 1) ? y = 0.
Dó l� m?t ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? dó cho.
+ T?i
ta có
Phuong trình ti?p tuy?n c?a (Cm) t?i
Là
Đó là một tiếp tuyến thay đổi theo m
V?y khi m thay d?i, y = 0 l� du?ng th?ng duy nh?t ti?p xúc v?i c? h? d? th? (Cm) .
L?i bình 1
? Ngu?i ta g?i ti?p di?m c?a ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? du?ng cong l� di?m h?n c?a h? du?ng cong ?y.
Nhu v?y :
* Di?m (x0; y0) du?c g?i l� di?m h?n c?a h? d? th? (Cm) : y = f (x) n?u c? f(x0)
v� f` (x0) d?u không ph? thu?c v�o m.
Nghia l� x0 l� nghi?m c?a
(trong dó c1, c2 l� các h?ng s?, m l� tham s?)
v?i m?i m.
* Ho�nh d? ti?p di?m du?c g?i l� di?m h?n c?a h�m s? y = f (x).
? Di?m h?n dã khoi thông bí m?t v? t?p h?p ti?p tuy?n c?a h? du?ng cong.
S? xu?t hi?n c?a di?m h?n cùng v?i l?i gi?i b?ng phuong pháp c?n v� d? dã ch? ra du?c t?p h?p các ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? ph? thu?c tham s? m� t? tru?c dó v?n còn dang b? che khu?t
? Các b?n c?nh giác v?i m?t s? l?i gi?i sau :
? Bu?c 1 : Tìm di?m c? d?nh c?a (Cm)
Vi?t l?i y = (m + 1)x3 ? (2m + 1)x2 + (m ? 1)x + 1
? y = x(x ? 1)2m + x3 ? x2 ? x + 1
To? d? các di?m c? d?nh c?a (Cm) l� nghi?m c?a h?
?
? Bu?c 2 : Vi?t phuong trình ti?p tuy?n t?i các di?m c? d?nh c?a (Cm)
Ta có y ` = m(3x2 ? 4x + 1) + 3x2 ? 2x ? 1.
+ T?i x = 0 có y ` = m ? 1, y0 = 1,
phuong trình ti?p tuy?n l� (?1) : y = (m ? 1)x + 1
Rõ r�ng (?1) không ph?i l� m?t ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? (Cm).
+ T?i x = 1 có y ` = 0, y0 = 0,
phuong trình ti?p tuy?n l� (?2) : y = 0(x ? 1) ? y = 0
Đó l� m?t ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? (Cm).
V?y khi m thay d?i, y = 0 l� m?t ti?p tuy?n c? d?nh m?t ti?p xuc v?i c? h? d? th? (Cm) ?
? L?i gi?i 2 (Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định điểm cố định )
? L?i gi?i 3 (doán r?i ch?ng minh)
Vi?t l?i y = (m + 1)x3 ? (2m + 1)x2 + (m ? 1)x + 1
? y = x(x ? 1)2m + x3 ? x2 ? x + 1
Xem (1) l� phuong trình d?i v?i ?n m.
Phuong trình ?y với nghi?m (d?i v?i m) khi v� ch? khi
?
Ta s? ch?ng minh y = 0 l� ti?p tuy?n c?a h? d? th? (Cm) .
Th?t v?y :
Xét h? (*)
?
? x = 1
V?i m?i m, h? (*) luụn cú nghi?m x = 1 nên y = 0 l� ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm).?
L?i bình 3
? Th?y r?ng m?t di?u ki?n c?n d? phuong trình (1) vô nghi?m d?i v?i m l� y ? 0,
L?i gi?i 3 dã doán y = 0 l� ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm).
Sau dó ch?ng minh k?t qu? c?a phép doán ?y l� đúng.
Rõ r�ng L?i gi?i 3 ch? dua ra du?c các ti?p tuy?n c? d?nh c?n tìm trong s? các ti?p tuy?n dã doán du?c ra.
Th?t l� khó d? kh?ng d?nh r?ng :
Cách gi?i 3 dã doán ra du?c h?t các ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm) .
Thí d? 2 (Có di?u ki?n d?i v?i m)
Tìm t?t c? các ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm) :
L?i gi?i
Vi?t l?i
T?p xác d?nh :
? Di?u ki?n c?n .
Tru?c h?t d? (Cm) có ti?p tuy?n thì m ? ?1.
Ta có
B?i th? l?i gi?i trên chua kh?ng d?nh du?c t?p h?p ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm).
N?u có m?t ti?p tuy?n c? d?nh chung cho m?i d? th? c?a h? (Cm) thì hi?n nhiên h? s? góc c?a ti?p tuy?n ?y không d?i.
Theo ý nghia hình h?c c?a d?o h�m thì ?t t?n t?i di?m x sao cho y` có giá tr? không ph? thu?c m.
Do
nên n?u có di?u dó x?y ra thì ?t ph?i x?y ra t?i x = ?1.
? Di?u ki?n d?.
T?i x = ?1 ta có y` = 1, y = ?3.
Phuong trình ti?p tuy?n t?i x = ?1 l� y = x ? 2.
Dó l� m?t ti?p tuy?n c? d?nh duy nh?t c?a h? d? th? (Cm) dã cho.?
L?i bình 4
Có th? b?n dang "nhan trán" b?i l?p lu?n :
"Do
nên n?u có di?u dó x?y ra thì ?t ph?i x?y ra t?i x = ?1".
Th?t v?y, n?u di?u dó x?y ra t?i x = a, v?i a ? ?1,
nghia l� y`(a) = const thì do m ? x
? m ? a.
Th? thí d? th? (Ca) không ti?p xúc v?i ti?p tuy?n nói trên.
Nói khác di ti?p tuy?n có h? s? góc b?ng y`(a) không ti?p xúc v?i d? th? (Ca)
Vì th? ti?p tuy?n có h? s? góc b?ng y`(a) không th? l� ti?p tuy?n ph?i tìm.
Thí dụ 3 . (Có di?u ki?n d?i v?i m)
Tìm t?t c? cỏc ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm) :
L?i gi?i
Vi?t l?i
T?p xác d?nh
? Di?u ki?n c?n .
Tru?c h?t d? (Cm) có ti?p tuy?n thì m ? 0
Ta có
N?u có m?t ti?p tuy?n c? d?nh chung cho m?i d? th? c?a h? (Cm) thì hi?n nhiên h? s? góc c?a ti?p tuy?n ?y không d?i.
. Theo ý nghia hình h?c c?a d?o h�m thì ?t t?n t?i di?m x sao cho y` có giá tr? không ph? thu?c m.
Do
Nên n?u có di?u dó x?y ra thì ?t ph?i x?y ra t?i x = 0 ho?c x = 2.
? Di?u ki?n d?.
T?i x = 0 ta có y` = 1, y = 1. Phuong trình ti?p tuy?n t?i x = 0 l� y = x ? 2.
T?i x = 2 ta có
Rõ r�ng y`(2) thay d?i theo m nên giá tr? x = 2 không thích h?p.
V?y y = x ? 2 l� ti?p tuy?n c? d?nh duy nh?t c?a h? d? th? (Cm) dó cho.
Thí d? 4 . (Không có di?u ki?n d?i v?i m)
Tìm t?t c? các ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm) :
L?i gi?i
T?p xác d?nh
? Di?u ki?n c?n .
Ta có
N?u có m?t ti?p tuy?n c? d?nh chung cho m?i d? th? c?a h? (Cm) thì hi?n nhiên h? s? góc c?a ti?p tuy?n ?y không d?i.
Theo ý nghia hình h?c c?a d?o h�m thì ?t t?n t?i di?m x sao cho y` có giá tr? không ph? thu?c m.
?
N?u có di?u dó x?y ra thì ?t ph?i x?y ra t?i các di?m m� x ? m = a ? x = a + m (v?i a l� h?ng s? khác 0)
T?i x = a + m ta có
phuong trình ti?p tuy?n c?a (Cm) l�
?
? Di?u ki?n d?.
V?i a2 ? 9 = 0 ? a = �3, ta có
(1) ?
Rõ r�ng y = 9(x ? 3) v� y = 9(x + 9) l� các ti?p tuy?n c? d?nh c?a h? d? th? (Cm) khi m thay d?i.
?
L?i bình 2
? Trong Thí d? 1, ti?p tuy?n c?a h? d? th? t?i
luôn cùng phuong v?i du?ng
th?ng c? d?nh
Phuong pháp dang s? d?ng cung l� phuong pháp tìm ti?p tuy?n có phuong không d?i c?a h? d? th? ph? thu?c tham s?.
Các b?n theo dõi Thí d? 5 ti?p theo.
Thí dụ 5.
Cho (Cm) là đồ thị hàm số
m ? 0.
Tìm điểm (x0; y0) trên (Cm) sao cho tại đó tiếp tuyến song song với một đường thẳng (?) cố định.
Lời giải
? Điều kiện m ? 2x.
Ta có
Tiếp tuyến song song với một đường thẳng (?) cố định khi và chỉ khi hệ số góc của tiếp tuyến không đổi.
Theo ý nghia hình h?c c?a d?o h�m điếu ấy có khi và chỉ khi y` có giá tr? không ph? thu?c m.
Do
nên n?u có di?u dó x?y ra thì ?t ph?i x?y ra t?i x = 0.
Khi đó y` = ?4.
Bởi m ? 0 ? ?3m ? 0 nên tiếp tuyến y = ?4x ? 3m luôn song song với đường thẳng cố định (?) có phương trình y = ?4x
Thay x = 0 vào phương trình của (Cm) có y = ?3m.
Phương trình tiếp tuyến là y = ?4x ? 3m

Vậy (0 ; ?3m ) là điểm của (Cm) mà ta phải tìm.

?
L?i cu?i
B?n yêu toán có th? tìm d?c trong m?t s? t�i li?u, ch?ng h?n Ph?m Qu?c Phong, Các chuyên d? nâng cao Toán Trung h?c Ph? thông ? D?i s? v� Gi?i tích, nh� xu?t b?n D?i h?c Qu?c Gia H� N?i, 2004.
Trong khuôn kh? b�i vi?t chúng tôi không có di?u ki?n nh?c l?i b�i toán :
ch?ng minh có m?t du?ng th?ng cố d?nh ti?p xúc v?i c? h? d? th? cùng phuong pháp gi?i l� doán r?i ch?ng minh.
Xin cám on các b?n dã d?c b�i vi?t n�y.

-----???H?t???-----