Đề và Đáp án thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2009-2010

Sở Giáo dục Và đào tạo
Nghệ An

 Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS
Năm 2009 – 2010. - ĐỀ 3
Môn thi : Toán .Mã số : .............
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm : 01 trang)


Câu 1 (2,0 điểm )
1)Phân tích đa thức sau thành nhân tử :


2)Rút gọn biểu thức sau :

Câu 2 ( 2,0 điểm )
1)Chứng minh rằng nếu phương trình :
có nghiệm
thì :

2)Tìm giá trị của m để hệ phương trình :

Có nghiệm duy nhất
Câu 3 ( 2,0 điểm )
1)Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện :

và

2)Trên tờ giấy kẻ vô hạn các ô vuông và được tô bởi các màu đỏ hoặc xanh thoả mãn bất cứ hình chữ nhật nào kích thước 2x3 thì có đúng hai ô màu đỏ.Hỏi hình chữ nhật có kích thước 2010x2011 có bao nhiêu ô màu đỏ .
Câu4 ( 3,0 điểm )
1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
Chứng minh :

Chứng minh :
; ( Kí hiệu
là diện tích tứ giác ABCD )
2) Cho tam giác ABC cân tại A có
.Chứng minh :
là số vô tỉ.
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Cho
thoả mãn với mọi x sao cho
và
.
Tìm số q nhỏ nhất sao cho

...................................Hết .........................................







Sở Giáo dục và đào tạo

Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Năm 2008 – 2009. ĐỀ 3
Môn thi : Toán .Mã số : .............
Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang


Hướng dẫn chấm
Câu
Phần
Nội dung
Điểm

Câu 1
2điểm
1)
1điểm
Ta có :



0,25





0,25



=

0,25





0,25


2)
1điểm
Đặt B =
,B>0
Ta có



0,25





0,25




, Vì B > 0
0,25



Vậy

0,25

Câu 2
2điểm
1)
1điểm
Giả sử
Là một nghiệm của PT
;(1)Ta thấy
.Vì nếu
dẫn đến 1= 0 vô lí




0,25



Đặt
ta có PT(2) trở thành
và PT này luôn có nghiệm y thoả mãn ĐK
hay


0,25



Ta chứng minh bất đẳng thức sau :


Thật vậy : Thật vậy (*)
( đúng )
Đẳng thức xảy ra khi ay = bx
áp dụng Bất đẳng thức (*) ta có


0,25






0,25




2)
1điểm
Giả sử (x0;y0) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình


suy ra (-x0;y0) cũng là nghiệm của hệ.Từ đó ta có

0,25



Với x0=0 thay vào (2) suy ra

Với x0=0 và y0 = - 1 thay vào (1) suy ra m = 0
Với m = 0
Hệ PT không có nghiệm duy nhất .Nên m = 0 loại
0,25



-Với x0 =0 và y0 = 1 thay vào (1) suy ra m = 2
Với m = 2

Từ (3)
và Từ (4)
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất (x;y) =(0;1)
0,25



Vậy m = 2 thì hệ PT có nghiệm duy nhất
0,25

Câu3
2điểm
1)
1điểm
Có


0,25



Nếu a = b và a , c dương .Ta có

Vì a,b,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau :


0,25



Nếu b = c và b,c dương .Ta có

Vì a,b,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau :


0,25



Vậy các cặp số nguyên dương (a;b;c) thoả mãn là (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2)
0,25