Đề và Đáp án thi HSG cấp huyện năm 2009-2010




đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán lớp 9
Năm học 2010-2011
( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1: ( 2,5 điểm )
1. So sánh :
và

2. Cho biểu thức
. Chứng minh rằng

Câu 2: (1,0 điểm )
Chứng minh biểu thức :
có giá trị là một số tự nhiên với

Câu 3: ( 2,5 điểm )
1. Giải phơng trình sau:

2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn

Câu 4: (3,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đờng thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
1. Chứng minh :

2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.
3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lợt vuông góc với IK, AK, AI ( P
IK, Q
AK, R
AI). Xác định vị trí điểm O để
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thoả mãn
và
. Chứng minh rằng:
.





Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán lớp 9
Năm học 2010-2011

Câu
ý
Nội dung
Điểm

Câu 1 2,5 đ



1
1,0đ
Ta có:


Vậy
>



0,5

0,25

0,25


2
1,5đ







0,5

0,5
0,5

Câu 2
1,0đ





0,5

0,5

Câu 3
2,5đ
1
1,0đ

ĐK :



0,25

0,5


0,25



2
1,0đ

ĐK :

Bình phơng hai vế ta đợc


Do x, y nguyên và y dơng nên ta có:





0,5

0,25
0,25


0,25
0,25

Câu 4
3,0đ

















1
1,0đ
Ta có


Trong tam giác AIK vuông tại A ta có:
. và AB = AD
Từ (1) và (2)

0,25


0,5


0,25


2
1,0đ
Kẻ AH vuông góc với MN
. Do CM + CN =7 và CM - CN = 1
CM = 4; CN = 3
MN = 5
Ta có


mà

Ta lại có :
và


DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6



0,25


0,5



0,25


3
1,0đ
Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật



nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD.
0,25
0,5

0,25

Câu 5
1,0đ

Vì vai trò của a,b,c nh nhau, không mất tính tổng quát giả sử :
Khi đó vì
và
nên ta có

.
Mặt khác

Ta xét hai trờng hợp của b:
Nếu
. Khi đó



Nếu
.Khi đó

Vậy
( đpcm)
0,25