Đề thi và đáp án thi tuyển HSGQG tỉnh nghệ an

Sở Giáo Dục & Đào Tạo NGhệ an

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi
học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm học 2010 - 2011



Môn thi: Toán
Ngày thi: 08/10/2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm).
Cho P, Q là các số nguyên dương thỏa mãn P, Q và P.Q đều không là số chính phương. Chứng minh rằng nếu
là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình
và
là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình
thì ta có:

(Lưu ý: Nghiệm nguyên dương
được gọi là lớn hơn nghiệm nguyên dương
nếu
và
).
Câu 2 (4,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i)

ii)
thì
.
Câu 3 (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC và M, N là hai điểm di động trên đường thẳng BC sao cho
. Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với AC, đường thẳng d2 đi qua N và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của d1 và d2. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho các số thực dương
thỏa mãn:

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Câu 5 (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Ta chia tam giác ABC thành n tam giác nhọn. Hỏi giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu?
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:............................................................................................ Số báo danh:........................................