đề thi Toán quốc gia 99-2000

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ nhất

Bài 1 : Cho c là một số thực dương . Dãy số {x
}, n = 0,1,2,…., được xây dựng theo cách sau :
x
=

(n=0,1,2,….) nếu các biểu thức dưới căn là không âm .
Tìm tất cả các giá trị của c đề với mọi giá trị ban đầu x

(0,c) dãy {x
} được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim x
khi n
.

Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O
,r
) và (O
,r
). Trên đường tròn (O
,r
) lấy một điểm M
và trên đường tròn (O
,r
) lấy một điểm M
sao cho đường thẳng O
M
cắt đường thẳng O
M
tại một điểm Q. Cho M
chuyển động trên đường tròn (O
,r
) , M
chuyển động trên đường tròn (O
,r
) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau .
1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M
M
.
2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M
QM
luôn đi qua một điểm cố định .

Bài 3 : Cho đa thức :
P(x) = x
+ 153x
- 111x + 38
1/ Chứng minh rằng trong đoạn [1;3
] tồn tại ít nhất 9 số nguyên dương a sao cho P(a) chia hết cho 3

2/ Hỏi trong đoạn [1;3
] có tất cả bao nhiêu số nguyên dương a mà P(a) chia hết cho 3
?
--------------------








ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ hai

Bài 4 : Cho trước góc α với 0<α<π
1/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam thức bậc hai dạng f(x) = x
+ ax + b (a,b là số thực ) sao cho với mọi n>2 đa thức
P
(x) = x
sinα – xsin(nα) + sin(n-1)α
chia hết cho f(x)
2/ Chứng minh rằng không tồn tại nhị thức bậc nhất dạng g(x) = x + c (c là số thực) sao cho với mọi n>2 đa thức P
(x) chia hết cho g(x)

Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n>3 sao cho tồn tại n điểm trong không gian thoả mãn đồng thời các các tính chất sau đây :
a/ Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng .
b/ Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn
c/ Tất các các đường trong đi qua ba điểm trong chúng đểu có bán kính bằng nhau.

Bài 6 : Với mỗi đa thức hệ số thực P(x) , kí hiệu A
là tập hợp các số thực x sao cho P(x) = 0 .
Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của A
khi P(x) thuộc tập hợp các đa thức có hệ số thực với bậc ít nhất là 1 và thoả mãn đẳng thức :
P(x
- 1) = P(x).P(-x)
với mọi giá trị thực x
--------------------