Đề thi Toán quốc gia 2003

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 12/3/2003


Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện :
f(cotgx) = sin2x + cos2x
với mọi x thuộc khoảng (0;
).
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
g(x) = f(x).f(1-x)
trên đoạn [-1;1]

Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O
) và (O
) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O
) lớn hơn bán kính của đường tròn (O
). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O
) sao cho 3 điểm O
,O
,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O
) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O
),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O
) . Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O
) sao cho ba điểm O
,O
,A không thẳng hàng .
( (O) kí hiệu đường tròn tâm O)

Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s
là số các hoàn vị (a
,a
,….,a
) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a
,a
,…., a
) đều có tính chất 1
|a
- k|
2 với mọi k = 1,2,3,…,n.
Chứng minh rằng : 1,75.s
< s
< 2.s
với mọi số nguyên n >6

------------------------------------------------ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 13/3/2003


Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình :
(x+1)
+ y
= (x+2)
+ y
= … = (x+k)
+ y
= … = (x+n)
+ y

có nghiệm nguyên (x,y
,y
,….,y
)

Bài 5 : Cho hai đa thức :
P(x) = 4x
- 2x
- 15x + 9
và Q(x) = 12x
+ 6x
- 7x + 1
1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt
2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng minh rằng: α
+ 3β
= 4

Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R

R
thoả mãn điều kiện:
f(3x)
f(f(2x)) + x
với mọi số thực dương x.
Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F ta đều có :
f(x)
α
với mọi số thực dương x.

( R
kí hiệu tập hợp các số thực dương). --------------------------------------