đê thi thu hsg 12
Chia sẻ bởi Phan Thanh |
Ngày 09/05/2019 |
102
Chia sẻ tài liệu: đê thi thu hsg 12 thuộc Giải tích 12
Nội dung tài liệu:
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÒNG TOÀN QUỐC
NỘI DUNG ÔN THI TOÀN QUỐC
? Hình học phẳng
? Đại số
? Số học
? Phương trình hàm
? Dãy số
? Toán rời rạc
? Đa thức
Các phương pháp giải toán hình học phẳng
? Phương pháp tổng hợp
? Phương pháp tọa độ
? Phương pháp véc tơ
? Phương pháp biến hình
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở hai điểm A và B. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó tiếp xúc với (O1) ở P và (O2) ở T.Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau ở điểm S. Gọi H là điểm đối xứng của điểm B qua PT. Chứng minh rằng ba điểm A,H,S thẳng hàng
(Chọn học sinh dự thi IMO 2001)
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở hai điểm A và B. Các tiếp tuyến tại A và B của (O1) cắt nhau ở K. Gỉa sử M là một điểm nằm trên (O1) nhưng không trùng với A và B. Đường thẳng AM cắt lại (O2) ở P, đường thẳng KM cắt lại (O1) ở C và đường thẳng AC cắt lại (O2) ở Q. Chứng minh rằng:
Trung điểm của PQ nằm trên đường thẳng MC
Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên (O1)
(Chọn học sinh dự thi IMO 2001)
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Gỉa sử ABCD là một tứ giác nội tiếp. P,Q,R là chân các đường vuông góc hạ từ D lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng tỏ rằng PQ=QR khi và chỉ khi phân giác của các góc ABC và góc ADC cắt nhau trên AC.
( IMO 2003)
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 3:(Hệ thức lượng trong đường tròn)
Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố định (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau tại điểm M, và bán kính đường tròn (O2) lớn hơnbán kính đường tròn (O1). Xét điểm A nằm trên trên đường tròn (O2) sao cho ba điểm O1, O2, A không thẳng hàng. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O1) ( B và C là các tiếp điểm). Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O2) tương ứng tại E và F. Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O2). Chứng minh rằng điểm D di động trên đường thẳng cố định, khi A di động trên đường tròn (O2) sao cho ba điểm O1,O2,A không thẳng hàng.
(Toàn quốc bảng A-2003)
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 1:Cho hai tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi E và F là các điểm nằm trên đường thẳng qua D sao cho AE BE ,
AF CF, và E,F không trùng D. Giả sử M và N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng AN NM
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M và N. Từ N, kẻ đường vuông góc với NA, đường này cắt MA và BA tương ứng tại Q và P. Từ P, kẻ đường vuông góc với BA, đường này cắt NA tại O.
Chứng minh rằng
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 3: Trong tam giác ABC, góc C=600, D,E,F là các điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi M là giao điểm của AD và BF. Gỉa sử CDEF là hình thoi. Chứng minh rằng
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 4: Cho hai điểm P,Q trên cạnh BC của một tam giác ABC, nằm theo thứ tự B,P,Q,C. Hai đường tròn ngoại tiếp của tam giác PAB, QAC cắt nhau tại M ( khác A) và hai đường tròn ngoại tiếp tam giác PAC, QAB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng A,M,N thẳng hàng nếu và chỉ nếu P và Q đối xứng nhau qua trung điểm A` của BC
Phương pháp véc tơ
Ví dụ 1:Cho tam giác ABC. Điểm X nằm trên cạnh AB sao cho
CX cắt đường trung tuyến kẻ từ A cắt tại A` và cắt trung tuyến kẻ từ B
tại B`` . Các điểm B`,C`,A``,C`` được định nghĩa tương tự.
Tìm tỷ số của diện tích hai tam giác A``B``C`` và A`B`C`
Phương pháp biến hình
Ví dụ 1:(Đối xứng trục)
Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn (O), lấy điểm P sao cho P không trùng với B và C. Lấy điểm D sao cho và gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vhông góc của K trên các đường thẳng BC và AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
(Toàn quốc bảng B-2004)
Các phương pháp tìm GTLN và GTNN
PP1: Sử dụng bất đẳng thức
PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa
PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ
PP4: Sử dụng đạo hàm
PP5: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ
phương trình
Đại số (PP chuyển về hệ)
Ví dụ 1: Xét các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
Đại số (pp lượng giác hóa)
Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực sau cho a?0, a?b và tất cả các nghiệm của phương trình
ax3-x2+bx-1=0
Điều là các nghiệm thực và dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đại số (pp lượng giác hóa)
Ví dụ 4: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: abc+a+c=b
Hãy tìm GTLN của biểu thức:
Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)
Ví dụ 3: Xét các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : (x+y+z)3=32xyz
Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức
Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)
Ví dụ 3: Xét các số thực x,y,z thỏa mãn hệ điều kiện : x+y+z=4 và xyz=2
Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức
(Toàn quốc bảng B 2004)
Đại số
Ví dụ 4: Cho a2+b2+c2=4 và x?(0;?/2)
Tìm GTLN và GTNN của
Đại số
Ví dụ 5: Cho hàm f(x) xác định với mọi số thực x sao cho f(tgx)=sin2x với mọi x?(-?/2,?/2)
Tìm GTLN và GTNN của hàm số
Các phương pháp giải hệ phương trình thường sử dụng
PP1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả
PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa
PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ
PP4: Sử dụng bất đẳng thức
PP5: Sử dụng tam thức bậc hai
PP6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
(Toàn quốc bảng B-2004)
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
(Toàn quốc bảng B-2001)
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Cho hai đa thức:
P(x)=4x3-2x2-15x+9 và Q(x)=12x3+6x2-7x+1
Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt
Ký hiệu ? và � tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x). Chứng minh rằng :
?2+3�2=4
(Toàn quốc bảng B-2003)
Ca�c ba�i toa�n co� lieđn quan �eân ph��ng t�ch cụa moôt �ieơm �oâi v��i ����ng tro�n:
Ba�i 1: Gói BD la� phađn gia�c go�c B trong tam gia�c ABC, D naỉm tređn AC. ����ng tro�n ngoái tieâp tam gia�c BDC caĩt AB tái E, ����ng tro�n ngoái tieâp tam gia�c ABD caĩt BC tái F. Ch��ng minh raỉng AE=CF.(Olympic Toa�n hóc tha�nh phoâ St. Petersburg, 1996)
Ba�i 2: Cho tam gia�c ABC, beđn ngoa�i tam gia�c na�y, ve� ca�c tam gia�c BCD, CAE, ABF co� ca�c cánh �a�y t��ng ��ng la� BC, CA, AB. Ch��ng minh ca�c �oán vuođng go�c kẹ t�� A,B,C t��ng ��ng xuoâng EF, FD, DE baỉng nhau.(Olympic Toa�n hóc My�, 1997)
Ba�i 3:Cho tam gia�c ABC. Moôt ����ng tro�n tađm O �i qua ca�c �ieơm A va� C caĩt ca�c �oán AB va� BC theo th�� t�� tái hai �ieơm phađn bieôt K va� N. Giạ s�� ca�c ����ng tro�n ngoái tieâp cụa ca�c tam gia�c ABC va� KBN caĩt nhau tái �u�ng hai �ieơm phađn bieôt Bva� M. Ch��ng minh go�c OMB vuođng.(IMO, 1985)
��nh ly� Ce�va trong h�nh hóc pha�ng:
Gói E,F,G la� ba �ieơm t��ng ��ng naỉm tređn ba cánh BC, CA, AB cụa tam gia�c ABC. Lu�c �o�, ba ����ng tha�ng AE, BF, CG caĩt nhau tái moôt �ieơm O khi va� chư khi:
A
B
C
O
L
E
G
K
F
C`
Định lý Céva thường được sử dụng để chứng minh các đường thẳng đồng quy
Định lý Céva
Ví dụ : Trong tam giác ABC có AB?AC, gọi V là giao điểm của phân giác góc A với cạnh BC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Nếu E, F tương ứng là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với hai cạnh CA và AB, Hãy chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy
Định lý Céva
Ví dụ :Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng tại A1,B1,C1. Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy
Định lý Céva
Ví dụ :Cho tam giác ABC. AM, BN, CE là các đường trung tuyến của tam giác. Gọi AM`, là đường thẳng đối xứng với AM qua phân giác góc A, BN` là đường thẳng đối xứng với BN qua phân giác góc B, CE` là đường đối xứng với CE qua phân giác góc C. Chứng minh rằng AM`, BN`, CE` đồng quy.
Định lý Ménélaus trong hình học phẳng :
Cho tam giác ABC. Một đường thẳng d bất kỳ cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Khi đó:
Đảo lại, giả sử các điểm P, Q, R tương ứng nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB của tam giác ABC sao cho (1) được thỏa. Lúc đó P, Q, R thẳng hàng
A
B
C
P
R
Q
L
d
Định lý Ménélaus thường được sử dụng đẻ chứng minh tính thẳng hàng của các giao điểm của một số đường thẳng
Định lý Ménélaus trong hình học phẳng
Ví dụ: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC không cân, giả sử đường tròn này tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm tương ứng A1, B1,C1, . Chứng minh rằng tâm các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AIA1, BIB1 và CIC1 thẳng hàng.
Định lý Sti-oa-tơ
Với M là điểm tùy ý trên cạnh BC của tam giác ABC, ta có hệ thức:
A
B
C
M
Định lý Sti-oa-tơ
Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A>900. Lấy hai điểm khác nhau P và Q trên cạnh BC sao cho góc BAP=góc PAQ và BP.CQ=BC.PQ. Tính số đo góc PAC.
Ví dụ: Cho ABC là tam giác không cân. Các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại các điểm thứ hai L,M,N. Gỉa sử LM=LN. Hãy chứng minh :
Định lý Sti-oa-tơ và Menelaus
Cho tam giác vuông ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, và CA. Gỉa sử đường phân giác của góc BDC cắt BC tại M và phân giác góc ADC cắt AC tại N. Cho MN và CD cắt nhau tại O; EO cắt AC tại P và đường thẳng FO cắt BC tại Q .
Chứng minh rằng CD=PQ
Định lý Ptolémé
Với một tứ giác nội tiếp, tích các đường chéo bằng tổng của hai tích các cạnh đối
Bất đẳng thức Ptolémé
Với mọi tứ giác ta luôn có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABCD nội tiếp
Bất đẳng thức Ptolémé
Ví dụ: Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện AB=BC, CD=DE và EF=FA. Chứng minh rằng:
Khi nào đẳng thức xãy ra?
Định lý Côsin và sin
Ví dụ: Các tiếp tuyến tại B và A cắt tiếp tuyế ở C của đường tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn ABC lần lượt tại T và U. AT cắt BC tại P, Q là trung điểm của AP, BU cắt CA tại R và S là trung điểm BR.
1. Chứng minh rằng góc ABQ = góc BAS
2. Xác định dạng tỷ số các cạnh (a:b:c) của tam giác ABC để góc này lớn nhất
Định lý Côsin và Sin
Ví dụ:Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) cố định, bán kính R. Cho A và B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn (O) sao cho ba điểm A,B,O không thẳng hàng. Xét điểm C nằm trên đường tròn (O), C không trùng với A và B. Dựng đường tròn (O1) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C, dựng đường tròn (O2) đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C. Chứng minh rằng:
1.
2. Đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định, khi điểm C di động trên đường tròn (O) sao cho C không trùng với A và B
(Toàn quốc bảng A-2005)
Đại số: (Sử dụng điều kiện có nghiệm)
Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực p để miền giá trị của hàm số
chứa khoảng [1;2]
Bài tập phản xạ
Ví dụ: (Tuyển đội OLIMPIC 2001)
Trên mặt phẳng cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. PT là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (P và T là các tiếp điểm). Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn nhoại tiếp tam giác APT cắt nhau tại S. Gọi H là điểm đối xứng của B qua PT. Chứng minh rằng A,S,H thẳng hàng
Bài tập phản xạ
Ví dụ : Trên các cạnh của tam giác đều ABC, cho 6 điểm A1, A2 trên cạnh BC, B1,B2 trên cạnh CA, C1, C2 trên cạnh AB. Các điểm này là các đỉnh của một hình lục giác lồi A1A2B1B2C1C2 có độ dài của các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng A1B2, B1C2, C1A2 đồng quy
(Olimpic quốc tế 2005)
Bài tập phản xạ
Ví dụ :Cho ABCD là một tứ giác lồi cố định, với BC=AD và BC không song song với BA. E và F là hai điểm chạy trên các cạnh BC và AD (tương ứng) sao cho BE=DF.Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại P, các đường thẳng BD và EF cắt nhau tại Q, các đường thẳng EF và AC cắt nhau tại R. Chứng minh rằng khi E và F thay đổi, các đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR có một điểm chung khác P
(Olimpic quốc tế 2005)
Đường thẳng Simson
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi A`, B`, C` lần lượt là hình chiếu vuông góc của một điểm M thuộc đường tròn (O) xuống các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó A`, B`, C` cùng thuộc một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Simson ứng với điểm M của tam giác ABC.
NỘI DUNG ÔN THI TOÀN QUỐC
? Hình học phẳng
? Đại số
? Số học
? Phương trình hàm
? Dãy số
? Toán rời rạc
? Đa thức
Các phương pháp giải toán hình học phẳng
? Phương pháp tổng hợp
? Phương pháp tọa độ
? Phương pháp véc tơ
? Phương pháp biến hình
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở hai điểm A và B. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó tiếp xúc với (O1) ở P và (O2) ở T.Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau ở điểm S. Gọi H là điểm đối xứng của điểm B qua PT. Chứng minh rằng ba điểm A,H,S thẳng hàng
(Chọn học sinh dự thi IMO 2001)
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở hai điểm A và B. Các tiếp tuyến tại A và B của (O1) cắt nhau ở K. Gỉa sử M là một điểm nằm trên (O1) nhưng không trùng với A và B. Đường thẳng AM cắt lại (O2) ở P, đường thẳng KM cắt lại (O1) ở C và đường thẳng AC cắt lại (O2) ở Q. Chứng minh rằng:
Trung điểm của PQ nằm trên đường thẳng MC
Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên (O1)
(Chọn học sinh dự thi IMO 2001)
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Gỉa sử ABCD là một tứ giác nội tiếp. P,Q,R là chân các đường vuông góc hạ từ D lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng tỏ rằng PQ=QR khi và chỉ khi phân giác của các góc ABC và góc ADC cắt nhau trên AC.
( IMO 2003)
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 3:(Hệ thức lượng trong đường tròn)
Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố định (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau tại điểm M, và bán kính đường tròn (O2) lớn hơnbán kính đường tròn (O1). Xét điểm A nằm trên trên đường tròn (O2) sao cho ba điểm O1, O2, A không thẳng hàng. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O1) ( B và C là các tiếp điểm). Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O2) tương ứng tại E và F. Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O2). Chứng minh rằng điểm D di động trên đường thẳng cố định, khi A di động trên đường tròn (O2) sao cho ba điểm O1,O2,A không thẳng hàng.
(Toàn quốc bảng A-2003)
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 1:Cho hai tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi E và F là các điểm nằm trên đường thẳng qua D sao cho AE BE ,
AF CF, và E,F không trùng D. Giả sử M và N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng AN NM
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M và N. Từ N, kẻ đường vuông góc với NA, đường này cắt MA và BA tương ứng tại Q và P. Từ P, kẻ đường vuông góc với BA, đường này cắt NA tại O.
Chứng minh rằng
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 3: Trong tam giác ABC, góc C=600, D,E,F là các điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi M là giao điểm của AD và BF. Gỉa sử CDEF là hình thoi. Chứng minh rằng
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 4: Cho hai điểm P,Q trên cạnh BC của một tam giác ABC, nằm theo thứ tự B,P,Q,C. Hai đường tròn ngoại tiếp của tam giác PAB, QAC cắt nhau tại M ( khác A) và hai đường tròn ngoại tiếp tam giác PAC, QAB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng A,M,N thẳng hàng nếu và chỉ nếu P và Q đối xứng nhau qua trung điểm A` của BC
Phương pháp véc tơ
Ví dụ 1:Cho tam giác ABC. Điểm X nằm trên cạnh AB sao cho
CX cắt đường trung tuyến kẻ từ A cắt tại A` và cắt trung tuyến kẻ từ B
tại B`` . Các điểm B`,C`,A``,C`` được định nghĩa tương tự.
Tìm tỷ số của diện tích hai tam giác A``B``C`` và A`B`C`
Phương pháp biến hình
Ví dụ 1:(Đối xứng trục)
Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn (O), lấy điểm P sao cho P không trùng với B và C. Lấy điểm D sao cho và gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vhông góc của K trên các đường thẳng BC và AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
(Toàn quốc bảng B-2004)
Các phương pháp tìm GTLN và GTNN
PP1: Sử dụng bất đẳng thức
PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa
PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ
PP4: Sử dụng đạo hàm
PP5: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ
phương trình
Đại số (PP chuyển về hệ)
Ví dụ 1: Xét các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
Đại số (pp lượng giác hóa)
Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực sau cho a?0, a?b và tất cả các nghiệm của phương trình
ax3-x2+bx-1=0
Điều là các nghiệm thực và dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đại số (pp lượng giác hóa)
Ví dụ 4: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: abc+a+c=b
Hãy tìm GTLN của biểu thức:
Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)
Ví dụ 3: Xét các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : (x+y+z)3=32xyz
Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức
Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)
Ví dụ 3: Xét các số thực x,y,z thỏa mãn hệ điều kiện : x+y+z=4 và xyz=2
Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức
(Toàn quốc bảng B 2004)
Đại số
Ví dụ 4: Cho a2+b2+c2=4 và x?(0;?/2)
Tìm GTLN và GTNN của
Đại số
Ví dụ 5: Cho hàm f(x) xác định với mọi số thực x sao cho f(tgx)=sin2x với mọi x?(-?/2,?/2)
Tìm GTLN và GTNN của hàm số
Các phương pháp giải hệ phương trình thường sử dụng
PP1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả
PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa
PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ
PP4: Sử dụng bất đẳng thức
PP5: Sử dụng tam thức bậc hai
PP6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
(Toàn quốc bảng B-2004)
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
(Toàn quốc bảng B-2001)
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Đại số
Ví dụ 6: Cho hai đa thức:
P(x)=4x3-2x2-15x+9 và Q(x)=12x3+6x2-7x+1
Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt
Ký hiệu ? và � tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x). Chứng minh rằng :
?2+3�2=4
(Toàn quốc bảng B-2003)
Ca�c ba�i toa�n co� lieđn quan �eân ph��ng t�ch cụa moôt �ieơm �oâi v��i ����ng tro�n:
Ba�i 1: Gói BD la� phađn gia�c go�c B trong tam gia�c ABC, D naỉm tređn AC. ����ng tro�n ngoái tieâp tam gia�c BDC caĩt AB tái E, ����ng tro�n ngoái tieâp tam gia�c ABD caĩt BC tái F. Ch��ng minh raỉng AE=CF.(Olympic Toa�n hóc tha�nh phoâ St. Petersburg, 1996)
Ba�i 2: Cho tam gia�c ABC, beđn ngoa�i tam gia�c na�y, ve� ca�c tam gia�c BCD, CAE, ABF co� ca�c cánh �a�y t��ng ��ng la� BC, CA, AB. Ch��ng minh ca�c �oán vuođng go�c kẹ t�� A,B,C t��ng ��ng xuoâng EF, FD, DE baỉng nhau.(Olympic Toa�n hóc My�, 1997)
Ba�i 3:Cho tam gia�c ABC. Moôt ����ng tro�n tađm O �i qua ca�c �ieơm A va� C caĩt ca�c �oán AB va� BC theo th�� t�� tái hai �ieơm phađn bieôt K va� N. Giạ s�� ca�c ����ng tro�n ngoái tieâp cụa ca�c tam gia�c ABC va� KBN caĩt nhau tái �u�ng hai �ieơm phađn bieôt Bva� M. Ch��ng minh go�c OMB vuođng.(IMO, 1985)
��nh ly� Ce�va trong h�nh hóc pha�ng:
Gói E,F,G la� ba �ieơm t��ng ��ng naỉm tređn ba cánh BC, CA, AB cụa tam gia�c ABC. Lu�c �o�, ba ����ng tha�ng AE, BF, CG caĩt nhau tái moôt �ieơm O khi va� chư khi:
A
B
C
O
L
E
G
K
F
C`
Định lý Céva thường được sử dụng để chứng minh các đường thẳng đồng quy
Định lý Céva
Ví dụ : Trong tam giác ABC có AB?AC, gọi V là giao điểm của phân giác góc A với cạnh BC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Nếu E, F tương ứng là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với hai cạnh CA và AB, Hãy chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy
Định lý Céva
Ví dụ :Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng tại A1,B1,C1. Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy
Định lý Céva
Ví dụ :Cho tam giác ABC. AM, BN, CE là các đường trung tuyến của tam giác. Gọi AM`, là đường thẳng đối xứng với AM qua phân giác góc A, BN` là đường thẳng đối xứng với BN qua phân giác góc B, CE` là đường đối xứng với CE qua phân giác góc C. Chứng minh rằng AM`, BN`, CE` đồng quy.
Định lý Ménélaus trong hình học phẳng :
Cho tam giác ABC. Một đường thẳng d bất kỳ cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Khi đó:
Đảo lại, giả sử các điểm P, Q, R tương ứng nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB của tam giác ABC sao cho (1) được thỏa. Lúc đó P, Q, R thẳng hàng
A
B
C
P
R
Q
L
d
Định lý Ménélaus thường được sử dụng đẻ chứng minh tính thẳng hàng của các giao điểm của một số đường thẳng
Định lý Ménélaus trong hình học phẳng
Ví dụ: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC không cân, giả sử đường tròn này tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm tương ứng A1, B1,C1, . Chứng minh rằng tâm các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AIA1, BIB1 và CIC1 thẳng hàng.
Định lý Sti-oa-tơ
Với M là điểm tùy ý trên cạnh BC của tam giác ABC, ta có hệ thức:
A
B
C
M
Định lý Sti-oa-tơ
Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A>900. Lấy hai điểm khác nhau P và Q trên cạnh BC sao cho góc BAP=góc PAQ và BP.CQ=BC.PQ. Tính số đo góc PAC.
Ví dụ: Cho ABC là tam giác không cân. Các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại các điểm thứ hai L,M,N. Gỉa sử LM=LN. Hãy chứng minh :
Định lý Sti-oa-tơ và Menelaus
Cho tam giác vuông ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, và CA. Gỉa sử đường phân giác của góc BDC cắt BC tại M và phân giác góc ADC cắt AC tại N. Cho MN và CD cắt nhau tại O; EO cắt AC tại P và đường thẳng FO cắt BC tại Q .
Chứng minh rằng CD=PQ
Định lý Ptolémé
Với một tứ giác nội tiếp, tích các đường chéo bằng tổng của hai tích các cạnh đối
Bất đẳng thức Ptolémé
Với mọi tứ giác ta luôn có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABCD nội tiếp
Bất đẳng thức Ptolémé
Ví dụ: Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện AB=BC, CD=DE và EF=FA. Chứng minh rằng:
Khi nào đẳng thức xãy ra?
Định lý Côsin và sin
Ví dụ: Các tiếp tuyến tại B và A cắt tiếp tuyế ở C của đường tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn ABC lần lượt tại T và U. AT cắt BC tại P, Q là trung điểm của AP, BU cắt CA tại R và S là trung điểm BR.
1. Chứng minh rằng góc ABQ = góc BAS
2. Xác định dạng tỷ số các cạnh (a:b:c) của tam giác ABC để góc này lớn nhất
Định lý Côsin và Sin
Ví dụ:Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) cố định, bán kính R. Cho A và B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn (O) sao cho ba điểm A,B,O không thẳng hàng. Xét điểm C nằm trên đường tròn (O), C không trùng với A và B. Dựng đường tròn (O1) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C, dựng đường tròn (O2) đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C. Chứng minh rằng:
1.
2. Đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định, khi điểm C di động trên đường tròn (O) sao cho C không trùng với A và B
(Toàn quốc bảng A-2005)
Đại số: (Sử dụng điều kiện có nghiệm)
Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực p để miền giá trị của hàm số
chứa khoảng [1;2]
Bài tập phản xạ
Ví dụ: (Tuyển đội OLIMPIC 2001)
Trên mặt phẳng cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. PT là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (P và T là các tiếp điểm). Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn nhoại tiếp tam giác APT cắt nhau tại S. Gọi H là điểm đối xứng của B qua PT. Chứng minh rằng A,S,H thẳng hàng
Bài tập phản xạ
Ví dụ : Trên các cạnh của tam giác đều ABC, cho 6 điểm A1, A2 trên cạnh BC, B1,B2 trên cạnh CA, C1, C2 trên cạnh AB. Các điểm này là các đỉnh của một hình lục giác lồi A1A2B1B2C1C2 có độ dài của các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng A1B2, B1C2, C1A2 đồng quy
(Olimpic quốc tế 2005)
Bài tập phản xạ
Ví dụ :Cho ABCD là một tứ giác lồi cố định, với BC=AD và BC không song song với BA. E và F là hai điểm chạy trên các cạnh BC và AD (tương ứng) sao cho BE=DF.Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại P, các đường thẳng BD và EF cắt nhau tại Q, các đường thẳng EF và AC cắt nhau tại R. Chứng minh rằng khi E và F thay đổi, các đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR có một điểm chung khác P
(Olimpic quốc tế 2005)
Đường thẳng Simson
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi A`, B`, C` lần lượt là hình chiếu vuông góc của một điểm M thuộc đường tròn (O) xuống các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó A`, B`, C` cùng thuộc một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Simson ứng với điểm M của tam giác ABC.
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Phan Thanh
Dung lượng: |
Lượt tài: 1
Loại file:
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)