Đề thi HSg TPTH

KỲ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2006 – 2007 – MÔN THI: TOÁN
(Thời gian: 150 phút)

Bài 1: (5 điểm)
a) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x
0, thoả mãn:
f(1) = 1 (1);
(2)
và
với mọi x1
và x1 + x2
0 (3) . Tính

b) Cho các đường thẳng: 2x – 3y = 4 (d) và 3x + 5y = 2 (d’)
Tìm trên trục Oy điểm có toạ độ nguyên dương nhỏ nhất sao cho nếu tại đó ta dựng đường vuông góc với Oy thì nó cắt đường thẳng d và d’ tại các điểm có toạ độ nguyên.
Bài 2: (5 điểm)
a) Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn điều kiện:


Chứng minh rằng:
khi


b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
với x > 0; y > 0; z > 0 và

Bài 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình:

Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC,
). Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho DC < DB. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB theo thứ tự tại M, N. Điểm H đối xứng với D qua đường thẳng MN. Gọi giao điểm của các đường thẳng AH và BC là I.
a) Tứ giác ANMH là hình gì? Chứng minh.
b) Chứng minh
IAB

IHC.
Bài 5: (2 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi M là giao điểm của AB và CD, N là giao điểm của AD và BC. Gọi E, F, và K lần lượt là trung điểm của BD, AC và MN.
a) Chứng minh các điểm E, F, K thẳng hàng.
b) Tìm tập hợp các điểm I nằm trong tứ giác thoả mãn

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU CHẤM
KỲ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2006 – 2007 – MÔN THI: TOÁN
(Thời gian: 150 phút)

Bài 1: (5 điểm)
a) (2,5 điểm)
+ Áp dụng điều kiện (1) và (3) ta có:
f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 1 + 1 = 2
Tương tự: f(3) = 3 ; f(5) = 5 ; f(7) = 7 ; f(9) = 9 1 điểm
+ Áp dụng điều kiện (2) ; kết hợp với f(9) = 9 ta có:

0,5 điểm
+ Áp dụng điều kiện (3), kết hợp với
ta có:


Tương tự:
;
;
0,75 điểm
Vậy
0,25 điểm.
b) (2,5 điểm)
+ Gọi toạ độ nguyên dương nhỏ nhất của điểm cần tìm là (0;b)
Theo bài ra đường thẳng y = b vuông góc với Oy cắt đường thẳng d và d’ lần lượt tại các điểm C(m ; b) và D(n;b) trong đó m, n
Z 0,75 điểm.
+ Cần tìm b nguyên dương nhỏ nhất sao cho:


Giải tìm được: n = 10k + 4 ; m = - 9k – 1 ; b = - 6k – 2 (với k
Z)
Để b là số nguyên dương nhỏ nhất ta chọn k = -1
Khi đó b = 4; m = 8 ; n = - 6 1,5 điểm
+ Vậy điểm cần tìm có toạ độ (0;4),khi đó đường thẳng y = 4 cắt d và d’ lần lượt tại các điểm C(8;4) và D(-6 ; 4). Vẽ đồ thị minh hoạ 0,25 điểm.
Bài 2: (0,5 điểm)
a) (2,5 điểm)
+ Đặt a + b + c = M ; a – b + c = N

0,5 điểm
Kết hợp với các đk bài ra c/m được:
0,5 điểm
+ Tính được

, kết hợp với chứng minh trên

(1) 1 điểm
+ Theo bài ra
, ta xét hai trường hợp:
- Với
, từ (1) chứng minh được
(2)