De thi HSG toan lop 9

Phòng GD
Đề thi học sinh giỏi
Môn:Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2đ)
Cho biểu thức :
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của x để M >0.
Câu 2: (3đ)
a) Giải phương trình :
b) Giải hệ phương trình:


Câu 3:(1đ)
Cho x,y là các số thực thoả mãn:
Chứng minh rằng x2 +y2 =1.
Câu 4: (2 đ)
Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B .Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (O) và (O’ ) lần lượt tại M và N .Gọi I,J lần lượt là trung điểm của OO’ và MN .Chứng minh rằng tam giác BOI đồng dạng với tam giác BMJ .
Câu 5 (2 đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) .Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E ,hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại F .Chứng minh rằng
EA.ED + FA.FB =FE2 .
------------------------------------------------------------

Đáp án
Câu1:(2 điểm)
ĐKXĐ : và
b) (0,5 điểm)
Với điều kiện và P>0 do
suy ra x >4. Kết hợp với điều kiện ta có x>4 và xthì M>0.

Câu 2:(3 điểm)
a) (1,5 điểm): ĐKXĐ : x
hoặc x
1) với x
- Nếu x>0 suy ra phương trình vô nghiệm
- Nếu x0 xKết hợp với điều kiện ta có -2005khi đó hai vế không âm ,bình phương hai vế ta được: x2-x-2005=0 loại)
thoả mãn)
2)Với x


b) Đặt
Đặt .Khi đó hệ đã cho tương đương với hệ:
hoặc
*) Trường hợp 1:
*)Trường hợp 2:
Câu 3 (1 điểm)
ĐKXĐ: -1;-1
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:1
Câu 4: (2 điểm)
Vì OO’ là đường trung trực của dây chung AB nên
suy ra 1)
Tương tự :
Do đó tam giác OBO’ đồng dạng với tam giác MBN (gg) suy ra











Xét tam giác MAJ và tam giác OIB có:
BMABOI (cmt)
Suy ra tam giác BOI đồng dạng với tam giác BMJ.
Câu 5 : (2 điểm)

- Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác DCE , cắt EF tại M. Vì hai dây AB và CD của đường tròn (O) kéo dài cắt nhau tại F nên ta có FA.FB=FD.FC
Tương tự: FC.FD=FM.FE suy ra FA.FB=FM.FE (1) .Mặt khác








do tứ giác ABCD và DMEC nội tiếp) suy ra tứ giác AFMD nội tiếp .Do đó ta có EA.ED=EM.EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra FA.FB+EA.ED=(FM+EM) EF=EF2.