Đề thi HSG Toán lớp 9

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2010-2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang



Câu 1:(1,5 điểm ) Rút gọn biểu thức:

với
và 0 < a < b < 2a.
Câu 2:(2,0 điểm )
a) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011.
b) Xét dãy số
và
với mọi
là số nguyên dương. Chứng minh rằng
là số chính phương.

Câu 3:(3,0 điểm )
Giải hệ phương trình: (I)

b) Tìm các nghiệm tự nhiên
của phương trình:


Câu 4:(1,0 điểm)
Cho các số thực dương
thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 5:(2,5 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R (ABĐường tròn tâm I đường kính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N (M, N không trùng với A). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
Chứng minh rằng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Chứng minh rằng
.
Kẻ dây cung AE của đường tròn (I) song song với MN. Gọi F là giao điểm
của MN và HE. Chứng minh F là trung điểm của MN.

====== HẾT ======
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh………………………………………………………...SBD………………….


UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
H ƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
NĂM HỌC 2010-2011


Câu
Nội dung chính
Điểm

1
Đặt Thay vào ta được:
(1)
Đặt (vì

Thay vào ta được:

( vì a< b nên
) (2)
Từ (1) và (2



0,5





0,5



0,5


2

a)
- Nếu y chẵn thì với mọi x
Z có 2008x2009 + 2009y2010 là số chẵn; mà 2011 là số lẻ suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
- Nếu y lẻ thì y1005 là số lẻ. Đặt y1005 = 2k + 1 ( k
Z )

2009y2010 = 2009(y1005)2 = 2009(2k + 1)2 = 2009(4k2 + 4k + 1) = 4[2009(k2 + k)] + 2009. Ta có 2009y2010 chia cho 4 dư 1
2008x2009 + 2009y2010 chia cho 4 dư 1; mà 2011 chia cho 4 dư 3 suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011.

0,25



0,5
0,25


b) Dự đoán
(*)
Thật vậy: Với
=1 ta có
(*) đúng
Giả sử (*) đúng đến
(
nghĩa là

Ta phải chứng minh (*) đúng với

Ta có

=

(*) đúng với

(*) đúng với mọi
.
Do đó


là số chính phương.

0,25







0,5

0,25



3
a)
+ Với xyz=0 suy ra x = y = z = 0.
+ Với xyz
0 thì hệ (I) được viết lại:

(II)

Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:



(*)
Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có: x = 1,
y = 2, z = 3. Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm là: (0; 0; 0) và (1; 2; 3).

0,25




0,5





0,5


0,25


b) Pt đã cho








(1)
Vì
nên
và
. Do đó từ (1) suy ra


KL: Phương trình có nghiệm duy nhất (x,y)=(2;3).


0,5

0,5



0,5



4
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

Tương tự