Đề thi HSG Toán 9 và ĐA tr Văn Lương

Phòng GD Huyện Long Điền ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Trường THCS Văn Lương Năm học : 2009 – 2010
Môn : TOÁN 9 : 150 phút

Bài 1 ( 6 điểm )
Chứng minh rằng : là một số nguyên
Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh :

Tìm cả các số tự nhiên có 3 chữ số
sao cho :

n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 2 : ( 4 điểm )
Cho biểu thức :
(
)
Rút gọn P
Chứng minh rằng : nếu 0 < x < 1 thì P > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 3 : ( 5 điểm )
Cho
nhọn. Trên đường cao AD (
) điểm I sao cho
. Trên đường cao BE (
) điểm K sao cho
. minh : CI = CK

Bài 4 : ( 5 điểm )
Cho
vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có 2 đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M, cắt các đoạn thẳng AB , AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí điểm D và E để diện tích
giá trị nhỏ nhất.


















ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Bài 1 : ( 6 điểm )
( 2 điểm ) Viết được
( 0,5 đ )

( 0,5 đ )

= 1 ( 1 đ )
( 2 điểm )
* Vì a.b = 1 nên
( 1 đ )
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
Ta có :


( 1đ )
( 2 )
Viết được

(1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5
99 (3) ( 0,75 đ )
khác : 100


(4) ( 0,)
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm
( 0,5 đ )
Bài 2 ( 4 điểm )
Rút gọn

( 1,5 đ )
b) Với 0 < x < 1 thì 0 <
< 1 hay
> 0
Do
> 0 ( 1 đ )
c) Viết được

=
( 1,5 đ )





3 ( 5điểm ) ( hình vẽ 0,5 đ )
Viết được CI 2 = BD.BC (1 đ )
CK 2 = CE.CA (1đ )
Chứng minh BD.BC = CE.CA (1,5 đ )
=> CI 2 = CK2 => CI = CK ( 1 đ)
Bài 4 : ( 5 điểm )
-Vẽ

Thì ta H , K cố định (1 đ )
Chỉ ra
( )
Do đó SMDE =

MH , MK không đổi ( vì M , H , K cố định ) ( 1 đ )
Đẳng thức xảy ra
.Lúc đó c/m được D & E lần lượt là trung điểm của AB và AC (1,5 đ )
Vậy khi D , E lần lượt là trung điểm của AB , AC thì SMDE nhỏ nhất ( 0,5đ )