Đề thi HSG Toán 9 và ĐA tr Trần Nguyên Hãn

PGD& ĐT huyện Long Điền
Trường THCS Trần Nguyên Hãn
ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2009 – 2010
Thời gian 150 phút.

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K =


a/ Rút gọn K
b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên
Bài 2: (3 điểm)Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1)
B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1)
C = 666…….666 (m chữ số 6)
Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho abc = 1.Tính S =

b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x + 7y = 167
Bài 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường thẳng d qua A cắt (O) tại M và (O’) tại M’.
a/ Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B
b/ Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)
Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D, Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM.

ĐÁP ÁN
Bài 1(4 điểm)
a/ K =
=
(0,5điểm)
=
=
=
(1,5điểm)
b/ K =
= 1 +
(0,5điểm)
K nguyên khi 2

Ư(2) =
(0,75điểm)
Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên x = 4;9 (0,75điểm)
Bài 2: (4 điểm)
A = 111…….111 ( 2m chữ số 1) =
(0,5điểm)
B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1) =
(0,5điểm)
C = 666…….666 (m chữ số 6) =
(0,5điểm)
A + B + C + 8 =
+
+
+ 8 =
=
(1điểm)
Mà 10m + 8
3 nên 10m + 8 là số nguyên (0,25điểm)
Vậy A + B + C + 8 là số chính phương (0,25điểm)
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho abc = 1.

S =
=
(0,5điểm)
=
=
=
(1.5điểm)

b/ phương trình 3x + 7y = 167

3x + 7y = 167
x =
=
(0,5điểm)
đặt
= t
y = 3t – 1 Nên x = 58 – 7t (t
Z) (0,5điểm)
Vì x; y nguyên dương nên 3t – 1 > 0
t >

và 58 – 7t > 0
t <
(0,5điểm)
Vì t
Z n ên t

(0,25điểm)
Các nghiệm nguyên dương của phương trình là : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9; 20), (2; 23) (0,25điểm)

Bài 4 (5 điểm) hình vẽ (0,5điểm)
a/ Chứng minh N, N’ cố định và N, B, N’ thẳng hàng
Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N .
Vì
= 900 nên AN là đường kính của đường tròn (O)
N cố định (0,5điểm)
Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’
Vì
= 900 nên AN’ là đường kính của đường tròn (O’)
N’ cố định (0,5điểm)
B thuộc đường tròn đường kính AN nên
= 900 (0,25điểm)
B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên
= 900 (0,25điểm)


=
+
= 1800 (0,25điểm)
Vậy N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm)
b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)
OI đi qua trung điểm của NA