Đề thi HSG Toán 9 và ĐA tr Phạm Hữu Chí

PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
HUYỆN LONG ĐIỀN Môn thi: Toán học lớp 9.
====*&*===== Thời gian : 150 phút

Câu 1: Cho biểu thức:
Rút gọn A.
Tìm để
Câu 2: Cho đường thẳng d có phương trình:
Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 4: Cho ABC (AB = AC). Vẽ một đường tròn có tâm(O) nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D; E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N .
Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi.
Chứng minh hệ thức
Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn nhất.
Câu 5: Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC ?
-----------------------------*&*-----------------------------





















ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Đáp án
Thang điểm

1 ( 2 đ)
a) TXĐ :


Vì nên
b) Tìm để
Để khi thì là ước dương của 2 ( vì
*)
*)

1 điểm









1 điểm

2 ( 2 đ)
a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên

b) Gọi là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua
Ta có:

Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2)
1 điểm


1 điểm

3(1,5đ)
Đặt

Ta có

Dấu “ =” xẩy ra khi x = y = z a = b = c .
Vậy S nhỏ nhất là 3 và xẩy ra khi a = b = c..




0,5 điểm




0,5 điểm



0,5 điểm


4 (3.5đ)
Hình vẽ đúng
a) Chu vi AMN = AM + AN + MN
= AM + AN +MI + IN
= AM + AN + MD + NE
= AD + AE = 2 AD không đổi.
b)
mà
Mặt khác: và
và

c) lớn nhất khi SBMNC nhỏ nhất .
Ta có: ( R: bán kính đường tròn)

R; BD không đổi nhỏ nhất khi BM + CN nhỏ nhất .
Tích không đổi Tổng BM + CN nhỏ nhất Khi đó I là điểm chính giữa cung DE .

0.5 điểm
1 điểm



1 điểm












1 điểm




5(1đ)
Vẽ tam giác đều CMN

mà
vuông tại M.


1điểm.