Đề thi HSG Toán 9 và ĐA tr Phạm Hồng Thái

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN THCS PHẠM HỒNG THÁI NĂM HỌC 2009-2010
-------------------------

MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 2009

Bài 1 (4,0 đ)
a/Tính

b/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì: (a3 + 11a )
6
Bài 2 (4,0 đ) Cho các biểu thức:



a/ Tính giá trị của A
b/ Chứng minh rằng B> 8
Bài 3 (4,0 đ)
a/ Giải phương trình sau: x-

b/ Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình:

-1
Bài 4 (4,0 đ)
Cho tứ giác ABCD Có ADC + DCB = 900. AD = BC, CD = a ; AB = b. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD và BD. S là diện tích của tứ giác MNPQ
a/ Tứ giác MNPQ là hình gì?
b/Chứng minh S
Dấu “ =” xảy ra khi nào
Bài 5 (4,0 đ)
Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt la hình chiếu của H lên AC và AB. Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R ?















HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ TOÁN 9
Bài 1(4,0 đ)
a/ Ta có: 1.98+2.97+3.96+…+98.1=1+(1+2)+(1+2+3)+….+(1+2+3+…..+97+98)= (1,0đ)
Vậy A (1,0 đ)
b/Ta có: a3 + 11a = (a3 - a) + 12a = a(a -1)(a + 1) + 12a (0.5đ)
Vì
nên a; a -1; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp
a(a– 1)
2 ;
a(a +1)(a – 1)
3 (0,5đ)
Vì (2, 3) = 1 nên a( a-1)( a+1)
6; 12 a
6 (0,5đ)

a( a -1)( a +1) + 12a
6 Vậy (a3 + 11a )
6 với
a
Z (0,5đ)
Bài 2( 4,0 đ)
a/
=
(1,0 đ)
(1,0đ)
b/
=
(1,0đ)
2A = 8 (1,0đ)
Bài 3(4,0 đ)
a/: x-
đk: x
15

x – 15 -
(1) Đặt
(t
0) (1,0 đ)
(1)
t2 – t – 2 = 0


(1,0 đ)

b/
- 1

(1) (0,5 đ)
Ta có vế trái là một số vô tỷ. Vế phải là số hữu tỷ nên để phương trình có nghiệm nguyên là cả hai vế của (1) bằng 0

(1,0 đ)
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là(3; 6) ( 0,5 đ)







Bài 4(4,0 đ)
a/Chứng minh được MNPQ là hình thoi (0,75 đ)
Chứng minh được MNPQ là hình vuông (0,75 đ)
b/S(MNPQ)=
MP.QN=
QN2 (0,5 đ)
Gọi P là trung điểm của AD
Ta có QN

PN-PQ = (0,75 đ)

S

( )2 = ( )2 (0,75 đ) Dấu “=” xảy ra khi QN=
PN-PQ
Hay P; Q; N thẳng hàng khi đó tứ giác ABCD là hình thang (0,5 đ)


Bài 5 (4,0 đ)

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ