Đề thi HSG Toán 9 và ĐA tr Nguyễn Trãi

PHÒNG GD & ĐT LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC: 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 Phút

Bài 1: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 8
Tính tổng:
Giải
(0,5 điểm). Ta có: a2 – b2 = (a2 – 1) – (b2 – 1) = (a + 1)(a – 1) – (b + 1)(b – 1)
(0,5 điểm). Vì (a + 1)(a – 1) là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
(0,5 điểm). Tương tự: (b +1)(b – 1)
8
(0,5 điểm). Vậy: (a2 – b2 )
8 (đpcm)
b)










Bài 2: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng:


Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



Giải
a) Ta có:









= VP
b)

Tập xác định: D = 2009; 2010
Với x  D thì A ≥ 0. Do đó: A =

1. Xét:
(0,25 điểm)

Ta có:
(vì
với x  D)
<=> A ≥ 1 với x  D
(0,25 điểm) Vậy: Amin = 1 khi
(0,25 điểm)

2. Xét:
(0,25 điểm)

(vì
, với x  D; BĐT Côsi)
<=> A2 ≤ 2 với x  D
<=> A
với x  D
(0,25 điểm)Vậy Amax =
khi: x – 2009 = 2010 – x
(0,25 điểm) <=> x = 2009,5

Bài 3: (4 điểm) Mỗi câu 2 điểm
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 7y = 55
b) Cho a, b, c, d là các số dương và Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:



Giải
a) 3x + 7y = 55
(0,5 điểm). HS tìm được nghiệm nguyên tổng quát của phương trình trên:




(0,5 điểm).Để:


(0,5 điểm).=> t  16; 17; 18
(0,5 điểm).Vậy phương trình trên có 3 nghiệm nguyên dương là: (2; 7); (9; 4) ; (16; 1)
b)



(0,5 điểm).







(0,5 điểm).



(0,5 điểm)
.
(0,5 điểm).
(vì => ad = bc => )

Bài 4 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’) ? Giải thích.
b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
Giải (h.1)












Hình 1
a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gtACMD là hình thoiAC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
D, M, J thẳng hàng.
Ta có : vì
Mà do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh)
(1,5 điểm0,5 điểm) IJ là tiếp tuyến của (O’), J là tiếp điểm
b) Ta có IA = IM
IO’ = R (R là bán kính của (O))
O’M = O’B (bán kính (O’)
JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’