Đề THi HSG Toán 9 có ĐA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29/11/2012
Bài 1:
Tìm số tự nhiên n để:
a) A = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố.
b) B =
có giá trị là một số nguyên.
c) D = n5 – n + 2 là số chính phương (n
2).

Bài 2:
Cho biểu thức: P =
a. Rút gọn biểu thức P .
b. Tìm các giá trị của a sao cho P < 1.
c. Tính giá trị của P nếu
Bài 3.
1. Giải phương trình sau
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a).
b).
Bài 4 :
Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M
D; M
C ) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho góc MAN = 45O, DB cắt AM, AN theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng góc AFM = góc AEN = 90O.
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AEF bằng một nửa diện tích tam giác AMN.
Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC.
Bài 5 :
Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng :
T =
+
+




__________________________
Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo danh :..............Phòng thi...........

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Hội đồng chấm thi đã điều chỉnh một số nội dung và biểu điểm trong hướng dẫn này nhưng chúng tôi chưa cập nhật được mong quý vị thông cảm

PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán
Bài 1: (5,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n để:
a) A = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố.
b) B =
có giá trị là một số nguyên.
c) D = n5 – n + 2 là số chính phương, với n
2.

a, (1điểm) A = n3 - n2 + n – 1 = (n2 + 1)(n - 1)
Để A là số nguyên tố thì n – 1 = 1
n = 2 khi đó A= 5
0,5
0,5

0,5

0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

0,5

0,5

b, (2điểm) B = n2 + 3n -

B có giá trị nguyên
2
n2 + 2
n2 + 2 là ước tự nhiên của 2
n2 + 2 = 1 không có giá trị thoả mãn
Hoặc n2 + 2 = 2
n = 0 Với n = 0 thì B có giá trị nguyên.


c, (2điểm) D = n5 – n + 2 = n(n4 - 1) + 2 = n(n + 1)(n - 1)(n2 + 1) + 2
= n(n - 1)(n + 1)
+2 = n(n - 1)(n + 1)(n- 2)(n + 2) + 5 n(n - 1)(n + 1) + 2
Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2
5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)
Và 5 n(n-1)(n+1
5 Vậy D chia 5 dư 2
Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phương
Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương



Bài 2: (5,5 điểm)
Cho biểu thức: P =
a. Rút gọn biểu thức P .
b. Tìm các giá trị của a sao cho P < 1.
c. Tính giá trị của P nếu
a, Điều kiện có nghĩa:

b, P < 1 < 1 1 < 0
( Vì a + 2 > 0 )
Kết hợp với ĐKXĐ => Với thì P < 1 ........................
c, =>
=> Thay