Đề thi HSG toán 9

Phòng Giáo dục Huyện Long Điền
Trường THCS Phước Hưng
ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
NĂM HỌC : 2005 – 2006
Bài 1 (4 điểm)
Chứng minh rằng đa thức P(x) = x95 + x94 + x93 + … + x2 + x + 1, chia hết cho đa thức Q(x) = x31 + x30 + x29 + … + x2 + x + 1.
Chứng minh biểu thức :
A = 75(42005 + 42004 + 42003 +… + 42 + 5) + 25, chia hết cho 42006.
Giải
(2 điểm). P(x) = x95 + x94 + x93 + … + x2 + x + 1 = (x31 + x30 + x29 + … + x2 + x + 1)(x64 + x32 + 1) Vậy, đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x).
A = 75(42005 + 42004 + 42003 +… + 42 + 5) + 25
= 25.3(42005 + 42004 + 42003 +… + 42 + 4 +1) + 25
= 25.(4 – 1)(42005 + 42004 + 42003 +… + 42 + 4 + 1) + 25
(1 điểm) = 25(42006 – 1) + 25
(1 điểm) = 25.42006 42006
Bài 2 (4 điểm)
Giải các phương trình sau :

Giải
Viết phương trình như sau :

(1 điểm)
Từ đó tìm được x = 357 (1 điểm)
(1 điểm).Ta có :

Phương trình có vô số nghiệm (1 điểm).
Bài 3 (4 điểm)
Chứng minh :

Từ đó, chứng tỏ :
Với ba số x, y, z không âm thì :





Với ba số a, b, c không âm thì :

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Giải
(1 điểm). Khai triển vế phải và rút gọn, ta được kết quả vế phải bằng vế trái.
Nếu x, y, z không âm thì x + y + z không âm. Suy ra :
x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0.
Từ đó, ta có :
1 điểm)
(2 điểm). Đặt
Ta thấy a, b, c không âm, nên x, y, z không âm. Dựa vào kết quả câu a) ta có :
Bài 4 (4 điểm)
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O’). chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng.
Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

Giải






(0,5 điểm). Hình vẽ đúng
(0,5 điểm). Chứng minh đúng tứ giác BDCE là hình thoi
(1 điểm). Chứng minh AD BD, AI IC ( tức là AI EC )
Mặt khác, ta có BD // EC ( vì là các cạnh đối của hình thoi).
Các đường thẳng AD, AI cùng đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng song song (BD, EC ) nên A, D và I thẳng hàng.
(2 điểm). DIE vuông tại I có IK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên IK = KD = KE
O’IA cân tại O’ nên
Từ (1) và (2) , suy ra:

Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
Bài5 (4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M(C và D là các tiếp điểm khác H).
Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi.
Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi.
Giải










(0,5 điểm). Hình vẽ đúng.
(1,5 điểm). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :

C, M, D thẳng hàng.
Hình thang ABDC có