Đề thi HSG toán 9

PHÒNG GD- ĐT LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ------------------ NĂM HỌC 2005-2006
--------------------------------

MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20 -01 -2006
Bài 1: (4,0 đ)
1/ Cho A = 1+2+3+……..+ 2004+2005 +2006
a/ Tính A (1,0 đ)
b/ Nếu thay tổng của hai số hạng bất kỳ ( chọn trong tổng A)ø bằng hiệu của hai số hạng đó thì tổng mới của A là số lẻ hay số chẵn (1,0 đ)
2/ Chứng minh rằng số tự nhiên :
A = 1.2.3………2003.2004 (1
chia hết cho 2005 (2,0 đ)
Đáp án và biểu điểm
1: a/ ( 1,0 đ) Ta có : A = 2013021
b/ ( 1,0 đ) Với hai số a, b bất kỳ thì tính chẵn lẻ của tổng và hiệu giống nhau. Ta có:
a = 2p ; b = 2q a + b = 2( p + q) ; a – b = 2( p – q): Chẵn
a = 2p + 1 ; b = 2q + 1 a + b = 2(p + q + 1); a – b = 2(p – q): Chẵn
a = 2p ; b = 2q + 1 a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) – 1 :lẻ
a = 2p + 1 ; b = 2q a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) + 1: lẻ
Như vậy khi ta thay một tổng bởi hiệu của chúng thì tính chẵn lẻ của tổng A không đổi A = 2013021 là số lẻ nên tổng A mới là một số lẻ
2/ ( 2,0 đ) Ta có:
C = (1
= (1+ ……+
= 2005
= 2005. k ( 1,0 đ)
B = 1.2.3………2003.2004
mà 1.2.3………2003.2004 N B . k N
A = B. 2005 k 2005 ĐPCM ( 1,0 đ)
Bài 2: (4,0 đ)
1/ Chứng minh rằng nếu: x2 + y2 = 1 thì: (2,0 đ)
2/ Tính giá trị của biểu thức :
A = x2 + với x = (2,0 đ)
Đáp án và biểu điểm
1/ Ta có: ( x – y )2 0 x2 + y2 2 xy
Vì x2 + y2 = 1 2xy 1 Do đó: x2 + y2 + xy 1 + 1 = 2 ( x + y )22 ( x + y
x + y
2/ Ta có: x =
x2 =
= 0,5 đ)
Và x4 + x + 1 = 0,5 đ)
Thay vào A ta có A = 0,5 đ)
Bài 3: ( 4,0 đ)
1/ Cho x> 0, y> 0 thỏa mãn x+ y = 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3x + 2y +
2/ Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình:

Đáp án và biểu điểm
1/ Ta có: A = 3x + 2y + 0, 5đ) ( 0, 5đ)
( 0, 5đ)
Dấu “=” xảy ra khi x = 2; y = 4. ( 0, 5đ)
Vậy: Min P = 19 khi x = 2; y = 4
2/ (1) (0,5 đ)
Ta có vế trái là một số vô tỷ. Vế phải là số hữu tỷ nên để phương trình có nghiệm nguyên là cả hai vế của (1) bằng 0
1,0 đ)
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là(3; 6) ( 0,5 đ)
Bài 4: (4,0 đ)
Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c nội tiếp đường tròn ( O; R) Đường cao AH.
a/ Chứng minh: bc = 2R. AH
b/ Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh: S
Đáp án