Đề thi HSG Toán 9

ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN LỚP 9





Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề)




Bài 1(6 điểm). Chứng minh rằng:
a. S = 21 + 22 + 23 + …+ 22010 chia hết cho 3
b. a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a(b + c + d + e) với mọi a, b, c, d, e
c. Với mọi số tự nhiên n thì: (n + 20112010)(n + 20102011) chia hết cho 2

Bài 2(4 điểm). Cho hàm số

a. Tìm tập xác định của hàm số
b. Rút gọn y
c. Vẽ đồ thi hàm số
d. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x

Bài 3(4 điểm).
a. Tìm mọi x, y, z trong phương trình sau:


b. Giải hệ phương trình:


Bài 4(3 điểm). Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), M và N là trung điểm của hai đường chéo BD và AC. Chứng minh:
a. Các tứ giác AMNB và DMNC là những hình thang cân.
b. BM2 = AM2 + MN.AB

Bài 5(3 điểm). Cho hai tiếp tuyến AB và AC của nữa đường tròn(O) (B, C là hai tiếp điểm). Qua điểm X của cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến đến đường tròn này nó cắt AB và AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng chu vi tam giác AMN và góc MON không phụ thuộc vào việc chọn điểm X trên cung nhỏ BC.

----------Hết----------
















ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN




Bài

Nội dung

Điểm

Bài 1
Câu a
(2 đ)







Câu b
(2 đ)











Câu c
(2 đ)

Chứng minh rằng:S = 21 + 22 + 23 + …+ 22010 chia hết cho 3

Ta có: S = 21 + 22 + 23 + …+ 22010
= (21 + 22) + (23 + 24) + … + (22009 + 22010)
= 2(1 + 2) + 23 (1 + 2) + …. + 22009 (1 + 2)
= (1 + 2) (2 + 23 + …. + 22009 )
= 3 (2 + 23 + …. + 22009 )
3
Vậy S = 21 + 22 + 23 + …+ 22010 chia hết cho 3

Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a(b + c + d + e)
a, b, c, d, e

Ta có:
a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a(b + c + d + e)

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d + e)
0

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae
0

(
– ab + b2 ) + (
– ac + c2 ) + (
– ad + d2 ) + (
– ae + e2 )
0

(
– b )2 + (
– c )2 +(
– d )2 +(
– e )2
0 (bđt này đúng
a,b,c,d,e)
Vậy a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a(b + c + d + e) với mọi a, b, c, d, e


Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n thì: (n + 20112010) (n + 20102011) chia hết cho 2

* Nếu n là số chẵn thì (n + 20102011) là số chẵn

(n + 20112010) (n + 20102011) là số chẵn

(n + 20112010) (n + 20102011) chia hết cho 2
* Nếu n là số lẻ thì (n + 20112010) là số chẵn

(n + 20112010) (n + 20102011) là số chẵn

(n + 20112010) (n + 20102011) chia hết cho 2
Vậy với mọi số tự nhiên n thì: (n + 20112010) (n + 20102011) chia hết cho 2




0,5
0,5
0,5
0,25
0,25





0,25
0,25

0,75

0,