De thi hsg toan 9

đề thi học sinh giỏi -MÔN : TOÁN Lớp : 8
Đề số 1
Bài 1 : a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A
B biết
A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
Bài 2 : Cho x + y = 1 và x y
0 . Chứng minh rằng


Bài 3 : Cho a2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P =

Bài 4 : Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất M =
với a
o
Bài 5 : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm
của EF
c) Chứng minh S2FDC
16 SAMC.SFNA
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số


Hết
HƯỚNG DẪN

Bài 1 : a) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2
b) Xét

Với x
Z thì A
B khi

Z
7
( 2x – 3)
Mà Ư(7) =

x = 5; -2; 2 ; 1 thì A
B ( 0,25 đ)
Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi
=

=
( do x+y=1
y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
=
(0,25đ)
=
(0,25đ)
=
=
(0,25đ)
=
=
(0,25đ)
=
Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 3 : (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0
a2 – a + 1 = 3a

=3 (0,25đ)
P =
= 3 .
(0,25đ)
Mà
= 3+2 = 5
Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ)
Bài 4 : ( 1 đ) M =
=
(0,25đ)
=
(0,25đ) =
(0,25đ)
Dấu “=” xảy ra
a – 2008 = 0
a = 2008
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
khi a = 2008 (0,25đ)
Bài 5 :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được :
( Do AM//DF) (1)

( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) và (2)

( MB = MC) ( 0,25đ)

DE + DF = 2 AM ( 0,25đ)
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành
Ta có
(0,25đ)

(0,5 đ)


=> NE = NF (0,25đ)
Câu c : ( 0,75đ)
AMC và
FDC đồng dạng




FNA và
FDC đồng dạng


( 0,25đ)


và




.

(0,25đ)

S2FDC
16 SAMC.SFNA (0,25đ)
( Do




với x
0; y
0)


Bài 6 : ( 1 đ)
Kẻ MI // BC ( I
AD)
MI =

Ta có :
( Do MI // BC)


( 1) ( 0,25đ)

MAH và
ACH đồng dạng ( g-g)


(
ABC vuông cân tại A nên AB = AC )

AH = 2 MH ( 0,25đ)

AMC vuông , ta có AH2 = MH . HC

4MH2 = MH.HC
HC = 4 MH ( 0,25đ)
Thay vào (1) ta có :


( 0,25đ)



Đề số 2
Bài 1: Cho biểu thức M =
:

a) Rút gọn M
M=
:
=
:

M =
=

b)